写在前面
这个题也是我高中三年做出来的最后一个题了，也是画上了一个并不算完美的句号，还是挺有纪念意义的（
也算是全国卷里面端点效应的新高度了吧
说明一下，我写的内容尽量100%符合我在考场上的表述加上必要的解释，可以说是最真实的还原考场答案了，有些地方可能显得过于谨慎
题目
已知函数 f(x)=\ln\frac{x}{2-x}+ax+b(x-1)^3 ， f'(x) 为 f(x) 的导函数.
(1). 若 b=0 ，且 f'(x)\geq0 ，求 a 的最小值；
(2). 证明：曲线 y=f(x) 是中心对称图形；
(3). 若当且仅当 1<x<2 时 f(x)>-2 ，求 a 的取值范围.
解析
第一问
b=0 时 f(x)=\ln x-\ln (2-x)+ax ，
f'(x)=\frac1x+\frac{1}{2-x}+a=\frac{2}{x(2-x)}+a \space(0<x<2) ，
区间内 0<x(2-x)\leq1 ，故 \frac2{x(2-x)}\geq2 ，
当 a\geq-2 时 f'(x)\geq0 ， a<-2 时 f'(1)<0 不符合条件， a 的最小值为 -2 .
第二问
个人考场上是设点代入去做的，感觉表述上会严谨一些
f(x) 定义域为 (0,2) ，故对称中心只能为 (1,f(1)) 即 (1,a) ，下证明符合题意：
点 (x_1,f(x_1)) 在曲线 y=f(x) 上，则其关于 (1,a) 的对称点为 (2-x_1,2a-f(x_1)) ，
又 f(2-x_1)=\ln\frac{2-x_1}{x_1}+a(2-x_1)+b(2-x_1-1)^3=-\ln\frac{x_1}{2-x_1}+2a-ax_1-b(x_1-1)^3=2a-f(x_1) 故 (2-x_1,2a-f(x_1)) 在曲线 y=f(x) 上，
因此曲线 y=f(x) 上任意一点关于 (1,a) 的对称点也在曲线 y=f(x) 上，曲线 y=f(x) 关于 (1,a) 中心对称.
第三问
当且仅当 1<x<2 时 f(x)>-2 即 (0,1] 上 f(x)\leq-2 ， (1,2) 上 f(x)>-2 ，
又曲线 y=f(x) 关于 (1,a) 中心对称故 (1,2) 上 f(x)>-2 等价于 (0,1) 上 f(x)<-2 ，
(0,1] 上 f(x)\leq-2 等价于 [1,2) 上 f(x)\geq-2 ，故 f(1)\geq-2 ， f(1)\leq-2
得 f(1)=-2=a
（充分运用第二问的对称性和当且仅当的充要条件转化出闭区间求出 a ，避开连续性）
接下来就是端点效应（但是极限保号性和连续性平时随便用用，高考还真不敢）
f(x)=\ln x-\ln(2-x)-2x+b(x-1)^3 ，
f'(x)=\frac1x+\frac1{2-x}-2+3b(x-1)^2\space(0<x<2) 得 f'(1)=0
f''(x)=-\frac1{x^2}+\frac{1}{(2-x)^2}+6b(x-1)\space(0<x<2) 得 f''(1)=0
f'''(x)=\frac2{x^3}+\frac2{(2-x)^3}+6b\space(0<x<2) ， f'''(1)=4+6b ，
若 b<-\frac23 则 f'''(1)<0 ，由 x\to2^- 时 \frac2{x^3}\to\frac14,\frac2{(2-x)^3}\to+\infty ，故 f'''(x)\to+\infty
（同样是使用基本极限避开连续性，分母为零加上有界量的极限应该没什么问题，可以直接用），
则 f''''(x)=-\frac6{x^4}+\frac6{(2-x)^4} 在 (1,2) 上为正 (x>2-x),x^4>(2-x)^4>0,\frac6{(2-x)^4}>\frac6{x^4} ，
则 f'''(x) 在 (1,2) 单调递增且存在唯一零点 x_0 （这里再求一次导确认单调性以避免零点个数不确定），
故 f'''(x) 在 (1,x_0) 上为负， f''(x) 单调递减，故在 (1,x_0) 上 f''(x)<f''(1)=0 ，
同理 f'(x)<f'(1)=0 ， f(x_0)<f(1)=-2 不符合题意，
若 b\geq-\frac23 ，则 f'''(x) 在 (1,2) 单调递增，故 f'''(x)>f'''(1)\geq0 ， f''(x) 单调递增，同理 f'(x),f(x) 单调递增，在 (1,2) 上 f(x)>f(1)=-2 ，
由前述讨论，我们只需证明 (1,2) 上 f(x)>-2 则有当且仅当 1<x<2 时 f(x)>-2 ，故命题得证.
（因为等价于 (0,1) 上 f(x)<-2 且 f(1)=-2 ，故 (0,1] 上 f(x)\leq-2 ，满足充分性）
综上所述，b \in[-\frac23, +\infty).
分析
本题虽然作为端点效应得到答案难度不大（但仍在端点效应中属于难题，可能仅次于23甲卷），要严谨表述却并非易事，第二问的设点说明和第三问绕开连续性和保号性都是要注意的（得到 a=-2 的过程大概率是得分点，后面端点效应直接否定虽然大概率没事，但万一有事呢），而题目的设问也刚好提供了绕开的方式，这是值得注意的。
这道题也为我的学习生涯画上了一个阶段性的句号，同时也开启了在浙大的一段新征程，就在此祝所有的考生都能如愿，所有的毕业生都扬帆启航，迎风向未来吧！
(●'◡'●)
