当对称性遇上端点效应——2024年新高考1卷导数

写在前面

这个题也是我高中三年做出来的最后一个题了，也是画上了一个并不算完美的句号，还是挺有纪念意义的（
也算是全国卷里面端点效应的新高度了吧
说明一下，我写的内容尽量100%符合我在考场上的表述加上必要的解释，可以说是最真实的还原考场答案了，有些地方可能显得过于谨慎

题目

已知函数 $f(x)=\ln\frac{x}{2-x}+ax+b(x-1)^3$ ， $f'(x)$为 $f(x)$的导函数.
(1). 若 $b=0$，且 $f'(x)\geq0$，求 $a$的最小值；
(2). 证明：曲线 $y=f(x)$是中心对称图形；
(3). 若当且仅当 $1<x<2$ 时 $f(x)>-2$，求 $a$的取值范围.

解析

第一问
$b=0$时 $f(x)=\ln x-\ln (2-x)+ax$ ，
$f'(x)=\frac1x+\frac{1}{2-x}+a=\frac{2}{x(2-x)}+a \space(0<x<2)$，

区间内 $0<x(2-x)\leq1$，故 $\frac2{x(2-x)}\geq2$，

当 $a\geq-2$时 $f'(x)\geq0$， $a<-2$时 $f'(1)<0$ 不符合条件， $a$的最小值为 $-2$.

第二问
个人考场上是设点代入去做的，感觉表述上会严谨一些

$f(x)$定义域为 $(0,2)$，故对称中心只能为 $(1,f(1))$即 $(1,a)$，下证明符合题意：

点 $(x_1,f(x_1))$在曲线 $y=f(x)$上，则其关于 $(1,a)$的对称点为 $(2-x_1,2a-f(x_1))$，

又 $f(2-x_1)=\ln\frac{2-x_1}{x_1}+a(2-x_1)+b(2-x_1-1)^3=-\ln\frac{x_1}{2-x_1}+2a-ax_1-b(x_1-1)^3=2a-f(x_1)$故 $(2-x_1,2a-f(x_1))$在曲线 $y=f(x)$上，

因此曲线 $y=f(x)$上任意一点关于 $(1,a)$的对称点也在曲线 $y=f(x)$上，曲线 $y=f(x)$关于 $(1,a)$中心对称.

第三问
当且仅当 $1<x<2$时 $f(x)>-2$即 $(0,1]$上 $f(x)\leq-2$， $(1,2)$上 $f(x)>-2$，

又曲线 $y=f(x)$关于 $(1,a)$中心对称故 $(1,2)$上 $f(x)>-2$等价于 $(0,1)$上 $f(x)<-2$，

$(0,1]$上 $f(x)\leq-2$等价于 $[1,2)$ 上 $f(x)\geq-2$，故 $f(1)\geq-2$， $f(1)\leq-2$
得 $f(1)=-2=a$

（充分运用第二问的对称性和当且仅当的充要条件转化出闭区间求出 a ，避开连续性）
接下来就是端点效应（但是极限保号性和连续性平时随便用用，高考还真不敢）

$f(x)=\ln x-\ln(2-x)-2x+b(x-1)^3$，
$f'(x)=\frac1x+\frac1{2-x}-2+3b(x-1)^2\space(0<x<2)$ 得$f'(1)=0$
$f''(x)=-\frac1{x^2}+\frac{1}{(2-x)^2}+6b(x-1)\space(0<x<2)$得 $f''(1)=0$
$f'''(x)=\frac2{x^3}+\frac2{(2-x)^3}+6b\space(0<x<2)$， $f'''(1)=4+6b$，

若$b<-\frac23$则$f'''(1)<0$，由$x\to2^-$时$\frac2{x^3}\to\frac14,\frac2{(2-x)^3}\to+\infty$，故 $f'''(x)\to+\infty$

（同样是使用基本极限避开连续性，分母为零加上有界量的极限应该没什么问题，可以直接用），

则$f''''(x)=-\frac6{x^4}+\frac6{(2-x)^4}$在$(1,2)$上为正 $(x>2-x),x^4>(2-x)^4>0,\frac6{(2-x)^4}>\frac6{x^4}$ ，

则$f'''(x)$在$(1,2)$单调递增且存在唯一零点$x_0$（这里再求一次导确认单调性以避免零点个数不确定），

故$f'''(x)$在$(1,x_0)$上为负，$f''(x)$单调递减，故在$(1,x_0)$上 $f''(x)<f''(1)=0$，

同理$f'(x)<f'(1)=0$，$f(x_0)<f(1)=-2$不符合题意，

若 $b\geq-\frac23$，则 $f'''(x)$在 $(1,2)$单调递增，故 $f'''(x)>f'''(1)\geq0$， $f''(x)$单调递增，同理 $f'(x),f(x)$单调递增，在 $(1,2)$上 $f(x)>f(1)=-2$，

由前述讨论，我们只需证明 $(1,2)$上 $f(x)>-2$则有当且仅当 $1<x<2$时 $f(x)>-2$，故命题得证.
（因为等价于 $(0,1)$上 $f(x)<-2$且 $f(1)=-2$，故 $(0,1]$上 $f(x)\leq-2$，满足充分性）
综上所述，$b \in[-\frac23, +\infty)$.

分析

本题虽然作为端点效应得到答案难度不大（但仍在端点效应中属于难题，可能仅次于23甲卷），要严谨表述却并非易事，第二问的设点说明和第三问绕开连续性和保号性都是要注意的（得到 $a=-2$的过程大概率是得分点，后面端点效应直接否定虽然大概率没事，但万一有事呢），而题目的设问也刚好提供了绕开的方式，这是值得注意的。

这道题也为我的学习生涯画上了一个阶段性的句号，同时也开启了在浙大的一段新征程，就在此祝所有的考生都能如愿，所有的毕业生都扬帆启航，迎风向未来吧！

(●'◡'●)