前言
九省联考后，圆锥曲线中的面积问题成为了模拟卷中的热点。解决面积问题的传统做法常常需要设计点到直线的距离公式，计算量大且较为繁琐，而巧妙利用三角换元及向量面积公式可以极大简化计算量。
向量面积公式的证明
由于向量面积公式并没有出现在课本中，因此需要证明后使用，而三角换元本身只是一种设点的方式，可以直接使用。
向量面积公式的表述及证明如下：
设 A(x_1,y_1),B(x_2,y_2) ，则
\begin{aligned} S_{\triangle OAB} &= \frac12 |OA| \cdot |OB| \cdot \sin\angle AOB \\[2ex] &= \frac12 |OA| \cdot |OB| \cdot \sqrt{1-\cos^2\angle AOB} \\[2ex] &= \frac12 \left|\overrightarrow{OA}\right| \cdot \left|\overrightarrow{OB}\right| \cdot \sqrt{1-\left(\frac{\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}}{\left|\overrightarrow{OA}\right| \cdot \left|\overrightarrow{OB}\right|}\right)^2} \\[2ex] &= \frac12 \sqrt{\left(\left|\overrightarrow{OA}\right| \cdot \left|\overrightarrow{OB}\right|\right)^2-\left(\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}\right)^2} \\[2ex] &= \frac12 \sqrt{\left(x_1^2+y_1^2\right)\left(x_2^2+y_2^2\right)-\left(x_1x_2+y_1y_2\right)^2} \\[2ex] &= \frac12 \sqrt{x_1^2y_2^2+x_2^2y_1^2-2x_1x_2y_1y_2} \\[2ex] &= \frac12 \sqrt{\left(x_1y_2-x_2y_1\right)^2} \\[2ex] &= \frac12 \left|x_1y_2-x_2y_1\right| \end{aligned}\\
题目应用
2024届常德二模18题
已知椭圆 C:\frac {x^2} 2+y^2=1 的上、下顶点为 A,B ，位于第二象限的点 P 在椭圆上，过原点 O 分别作直线 PA,PB 的平行线与椭圆相交，将这四个交点依次连接构成一个四边形，则此四边形的面积是否为定值？若为定值，请求出该定值；否则，请求出其取值范围.
解析：
由题，该四边形显然为平行四边形，故设其上相邻两点为 C,D ， S=4S_{\triangle OCD} ，
设 P(x_0,y_0) ，则 k_{PA}=\frac{y_0-1}{x_0},k_{PB}=\frac{y_0+1}{x_0} ， k_{PA}\cdot k_{PB}=\frac{y_0^2-1}{x_0^2}=-\frac12 ，
且不妨 OC//PA,OD//PB ，
设 C(\sqrt2 cos\theta,sin\theta) ，则 k_{OC}=\frac{sin\theta}{\sqrt2 cos\theta} ， k_{OD}=-\frac{1}{2k_{OC}}=-\frac{cos\theta}{\sqrt2sin\theta} ，故不妨 D(-\sqrt2sin\theta,cos\theta) ，
由向量面积公式， S_{\triangle OCD}=\frac12|\sqrt2cos^2\theta+\sqrt2sin^2\theta|=\frac{\sqrt2}2 ，
故 S=4S_{\triangle OCD}=2\sqrt2 为定值。
2024届华南师大附中汕尾学校3月月考18题
已知椭圆 E:\frac {x^2} 2+y^2=1 ，直线 l_2 过原点且交 E 于 C,D 两点，椭圆 E 过 C 的切线为 l_3 ， OD 的中点为 G ，过 G 作直线 l_3 的平行线 l_4 与椭圆 E 交于 M,N 两点，在直线 l_2 上取一点 Q 使 \overrightarrow{CG}=\overrightarrow{GQ} ，判断平行四边形 MQNC 的面积是否为定值，若是定值请求出面积，若不是，请说明理由.
解析：
由题，设 C(\sqrt2 cos\theta,sin\theta) ，则 G(-\frac{\sqrt2}2cos\theta,-\frac12sin\theta) ，
设 M(\sqrt2 cos(\theta+\varphi),sin(\theta+\varphi)) ，则由 G 是 MN 中点，（这里使用第二问中已经证明的结论） k_{MG}\cdot k_{OC}=-\frac12 ，代入化简后得 \frac{2sin(\theta+\varphi)sin\theta+sin^2\theta}{2cos(\theta+\varphi)cos\theta+cos^2\theta}=-1 ，
故 2sin(\theta+\varphi)sin\theta+sin^2\theta+2cos(\theta+\varphi)cos\theta+cos^2\theta=0 ， 2cos(\varphi)=-1 ， \varphi 可为 \frac{2\pi}3 ，
由向量面积公式， S_{\triangle COM}=\frac12|\sqrt2cos\theta sin(\theta+\frac{2\pi}3)-\sqrt2sin\theta cos(\theta+\frac{2\pi}3)|=\frac12|\sqrt2sin\frac{2\pi}3|=\frac{\sqrt6}4，
且由 O 为 CG 靠近 G 三等分点且 G 为 MN 中点，得 \triangle MCN 的重心为 O ，因此 S_{\triangle MCN}=3S_{\triangle COM}=\frac{3\sqrt6}4 ，
S_{MQNC}=2S_{\triangle MCN}=\frac{3\sqrt6}2 为定值。
写在最后
愿大家都能在众多方法中找到属于自己的最优解，在高考备考的路上有所收获。
