第二问的正式证明过程:
设 d_1 = \log(p)_a(b \bigotimes c), 则 a^{d_1, \bigotimes} = b \bigotimes c.
设 d_2 = \log(p)_ab, d_3 = \log(p)_ac, 则 a^{d_2, \bigotimes} = b, a^{d_3, \bigotimes} = c.
由定义易知,a^{d_2+d_3, \bigotimes} = b \bigotimes c.
则 a^{d_1, \bigotimes} = a^{d_2+d_3, \bigotimes}
此时,如果题设命题不成立,即 d_1 \neq d_2 \bigoplus d_3,则d_1 = k(p-1)+(d_2+d_3)+m (k \in \N, m \in \N^* 且 m < p-1 )
则 a^{d_1, \bigotimes} = a^{k(p-1), \bigotimes} a^{d_2+d_3, \bigotimes}a^{m, \bigotimes}, 代入原式,有 a^{k(p-1), \bigotimes}a^{m, \bigotimes} = 1
引理:对于符合题目条件的 a, p, 总有 a^{p-1, \bigotimes} = 1.
我们构造数列\{g_n\}, 其中 g_n = na (n < p). 构造数列 \{h_n\}, 其中 h_n = g_n \bigotimes 1.
\{h_n\} 中的任意两项互不相等。如果存在h_{n_1} = h_{n_2} 且 n_1 \neq n_2, 也即 n_1a \bigotimes 1 = n_2 a \bigotimes 1, 因为 a 不整除于 p, 所以必然推出 n_1 = n_2. 矛盾!
因为 \{h_n\} 有 p-1 项,而在 \{h_n\} 的取值范围内只有 p-1 个正整数, 所以\{h_n\} 的所有项之积 T_n = 1 \times 2 \times 3 \times ... \times p-1 = (p-1)!.
而 \{g_n\} 的所有项之积 U_n = a \times 2a \times 3a \times ... \times (p-1)a = a^{p-1} (p-1)! . 此时有 a^{p-1} T_n \bigotimes 1 = T_n, 即 a^{p-1, \bigotimes} = 1.
所以 a^{k(p-1), \bigotimes}a^{m, \bigotimes} = a^{m, \bigotimes}, 而 m \neq 0 且 m \neq p-1, 所以 a^{m, \bigotimes} \neq 1. 矛盾!题设命题显然成立。
本题证明结束。