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【几何】求平行四边形的面积

BilinSun

设S是顶点为 (0,0), (1,0), (2,1), (1,1)的平行四边形。求S的面积。

gyigi

BilinSun 这。。。
这应该不是我所认识的坐标（（（

BilinSun

最直觉的方法是直接求积分\displaystyle\int_S\operatorname{d}x\operatorname{d}y，其中x,y是标准正交基。但积分区域不规整，而且需要用富比尼定理，最好使用更简单的办法。

BilinSun

不妨把S视作嵌入\mathbb R^2的二维流形，在其上对面积形式求积分。我们可以用
\begin{cases}x=(1,0)&\hskip-1ex\mapsto v_1=(1,0)\\y=(0,1)&\hskip-1ex\mapsto v_2=(1,1)\end{cases}所决定的线性变换f:U\subset\mathbb R^2\rightarrow\mathbb R^2来参数化整个S，其中U=(0,1)\times(0,1)。这样，面积就是
\int_S\operatorname dv_1\wedge\operatorname dv_2=\int_U(f^*\operatorname dv_1)\wedge(f^*\operatorname dv_2)=\cdots

BilinSun

BilinSun \int_S\operatorname dv_1\wedge\operatorname dv_2=\int_U(f^*\operatorname dv_1)\wedge(f^*\operatorname dv_2)=\cdots

我们很想接着写
原式=\int_U\operatorname dx\wedge\operatorname dy=\int_U1=1需要补充的最多就是按定义展开来验证一下
(f^*\operatorname dv_1)\wedge(f^*\operatorname dv_2)=\operatorname dx\wedge\operatorname dy根据我们对v_1的v_2定义，开算之前我们都知道这肯定是正确的……吗？

ha1

伪装得很好，下次不要再伪装了[tieba=huaji]
号主人已经以为号被盗了（

gyigi

ha1 +1+1
已经将近吵架了[tieba=huaji][tieba=pen]

BilinSun

troll了一半被发现了）

ha1 不好意思，愚人节笑话开晚了

亏我找了半天的Unicode不可见字符来撞名，论坛的检查还挺严格的，能排除大部分不可见字符

DaleZ

ha1 +1
我当时真的就以为号主又在上数学课了，只是不知道为什么账号后面为什么有个奇怪的符号（iPad 还是很负责的，把那个不可见字符用方框替代了🤪）

叶珞夜

ha1 离离原上谱

gyigi

BilinSun 我当时就感觉怪怪的，似乎名字后面有个空格（
还在跟 @ha1 讨论为啥这位仁兄发了个孙必林的研究nt启动软盘的帖子（

ha1

BilinSun 亏我找了半天的Unicode不可见字符来撞名，论坛的检查还挺严格的，能排除大部分不可见字符

草
原来还能这么玩（光速逃

BilinSun

我们知道一阶微分形式aka余向量\operatorname{d}x本质上就是线性范函\pi_x——向x轴上的投影。那么对于我们的v_1和v_2我们以此类推，\operatorname dv_1应该是向v_1方向上的投影，\operatorname dv_2应该是向v_2方向上的投影。比如说从点p\in U向y方向1单位长的向量，被f映到f(p)处的切向量为v_2方向、长度为\sqrt2；其投影到v_1的方向上长度为1，从而\displaystyle\frac{\partial v_1}{\partial y}=1；投影到v_2的方向上长度为\sqrt2，从而\displaystyle\frac{\partial v_2}{\partial y}=\sqrt2。所以
\begin{align*}(f^*\operatorname dv_1)\wedge(f^*\operatorname dv_2)&=(\frac{\partial v_1}{\partial x}\operatorname dx+\frac{\partial v_1}{\partial y}\operatorname dy)\wedge(\frac{\partial v_2}{\partial x}\operatorname dx+\frac{\partial v_2}{\partial y}\operatorname dy)\\&=(\operatorname dx+\operatorname dy)\wedge(\frac1{\sqrt2}\operatorname dx+\sqrt2\operatorname dy)\\&=\frac1{\sqrt2}\operatorname dx\wedge\operatorname dy\end{align*}哦豁。

BilinSun

是哪里出错了呢？我们容易看出，\operatorname dv_2简单定义成投影有点不合理。比如如果v_2改成现在的两倍长，f^*\operatorname dv_2竟然不会得到一个系数作为补偿。所以大概是我们需要考虑到v_2的长度不是1，加以补偿。那么乘什么系数呢？很简单，我们只要把\operatorname dv_2不看作“在v_2方向上的投影”，而是看作“求v_2坐标”，就像我们熟知的坐标系基变换一样，应该与v_2的长度是逆变的，具体到这里是乘上\|v_2\|^{-1}=\frac1{\sqrt2}。所以正确答案是——
\begin{align*}(f^*\operatorname dv_1)\wedge(f^*\operatorname dv_2)&=(\frac{\partial v_1}{\partial x}\operatorname dx+\frac{\partial v_1}{\partial y}\operatorname dy)\wedge(\frac{\partial v_2}{\partial x}\operatorname dx+\frac{\partial v_2}{\partial y}\operatorname dy)\\&=(\operatorname dx+\operatorname dy)\wedge(\textcolor{red}{\frac12}\operatorname dx+\textcolor{red}{1}\cdot\operatorname dy)\\&=\frac12\operatorname dx\wedge\operatorname dy\end{align*}
😅

BilinSun

到底怎么回事？我们考虑U当中一小块正方形区域Q，它照理应该被映射到f(Q)，一个有相同面积的平行四边形，所以确实应该(f^*\operatorname dv_1)\wedge(f^*\operatorname dv_2)=\operatorname dx\wedge\operatorname dy没错。事实上我们之所以要定义f(x)=v_1，f(y)=v_2，正是为了有这个漂亮的对应关系：x对应到v_1，y对应到v_2，所以x,y决定的正方形应该对应到v_1,v_2决定的平行四边形。
等等，v_1确定地对应x而不是y，那么是不是该有f^*\operatorname dv_1=\operatorname dx（而不是\operatorname dx+\operatorname dy）呢？从某种“斜着”的角度看，好像是这么个道理——虽然我们不能说f(y)投影在v_1方向上就没有长度，但这个长度似乎更应该看作在v_2方向的长度的“一部分”，不应该再算到v_1里。

BilinSun

怎样精确地描述该做什么？如果囿于将每个\operatorname dv_i分别用\operatorname dx和\operatorname dy（及相关的偏导数）解释，可能就会走入死胡同，因为我们怎么也说明不了为什么把一段长度指定给了\operatorname dv_2以后，如何把它从\operatorname dv_1当中扣除。\operatorname dv_1和\operatorname dv_2应该是正交的，不对，不正交，不对……
！
我们定义\operatorname dv_1和\operatorname dv_2的时候直接照搬了定义\operatorname dx和\operatorname dy的定义，认为这些一阶形式都是投影，却没有注意到一个前提：x和y本来是正交的，\operatorname dx和\operatorname dy投影到它们上面自动就取出了在两个方向上的信息。v_1和v_2本不正交，要决定“哪些长度属于哪些方向”，这正是基变换！作投影当然是不正确的。

BilinSun

因此，正确的做法是，在形式上将v_1视为“取v_1坐标”函数，它的值不能简单地做投影取得，而是进行基变换，然后取出新的第一个分量，即v_1=\pi_1\circ f^{-1}；对于t\in\mathbb R^2（f的定义域），v_1(f(t))=\pi_1\circ f^{-1}(f(t))=\pi_1(t)=x(t)。相应地，
\begin{align*}f^*\operatorname dv_1&=\frac{\partial(\pi_1\circ f^{-1})}{\partial x}\operatorname dx+\frac{\partial(\pi_1\circ f^{-1})}{\partial y}\operatorname dy\end{align*}

ha1

又被Akismet拦下来了😅
咱这边还撤不掉😅

BilinSun

ha1 我重发试试

因此，正确的做法是，在形式上将v_1视为“取v_1坐标”函数，它的值不能简单地做投影取得，而是进行基变换，然后取出新的第一个分量，即v_1=\pi_1\circ f^{-1}；对于t\in\mathbb R^2（f的定义域），v_1(f(t))=\pi_1\circ f^{-1}(f(t))=\pi_1(t)=x(t)。相应地，
\begin{align*}f^*\operatorname dv_1(t)&=\operatorname dv_1(\operatorname Df\cdot t)\xlongequal{f是线性的}\operatorname dv_1(f(t))\\ &=\frac{\partial(\pi_1\circ f^{-1}\circ f)}{\partial x}\operatorname dx(t)+\frac{\partial(\pi_1\circ f^{-1}\circ f)}{\partial y}\operatorname dy(t)\\&=\operatorname dx(t)\end{align*}
同理f^*\operatorname dv_2=\operatorname dy
这样我们终于扫清了障碍， (f^*\operatorname dv_1)\wedge(f^*\operatorname dv_2)=\operatorname dx\wedge\operatorname dy现在是代入即得。
注：\operatorname d是外微分算子，\operatorname D是全微分算子。\operatorname D只能用于“函数”即零阶微分形式，得到一阶微分形式。\operatorname d可以看成\operatorname D的推广，可以应用于任意阶微分形式，得到高一阶的微分形式。当然，如果阶数高过流形所嵌入欧氏空间的维数，则只能恒为0。

gyigi

BilinSun 虽然没看懂，但是结合着上面看了一眼
合着答案是1是吧😅

綾瀬桃桃

好的我这除了第一层其他TeX全都没渲染出来
cao

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