其实求解面积只是一个引子，本文的重点实际上是探讨了微分形式的“基变换”。
结论是，对于一般的向量组\{v_i\}，即使它们能构成一个坐标系，\operatorname{d}v_i也未必是向v_i方向的投影，还未必是v_i的对偶。\operatorname{d}v_1不止取决于v_1，而是取决于整个\{v_i\}。如果不知道整个\{v_i\}，只给定v_1，我们甚至无法确定\operatorname{d}v_1的具体取值。
Munkres已经指出，我们常常使用的一阶微分形式\operatorname{d}x_i实际上是滥用符号(abuse of notation)（见Munkres p. 254）。当我们只需要应对像x_i这种“平凡”的情况时这样做尚且可行，如果不是正交单位基，就出现问题了。看来在“一般”情况下，我们不能这样滥用符号。
目前我见到的微分几何的教材里还没有过强调这一点的，所以我写了这篇博文作为警示。
