写在前面
换元一直是化简复杂问题的常见策略，但是很多时候参数与自变量同时出现的时候，由于表达式中还存在单独的参数或自变量，不少同学可能不敢进行换元。
其实，这类问题只要换元后新的自变量仍然能满足“使原先的自变量取到整个定义域”，仍然可以进行部分代换。
下面让我们来看几道例题。
2024天津高考数学第15题（填空压轴）
若函数 f(x)=2\sqrt{x^2-ax}-|ax-2|+1 有唯一零点，则 a 的取值范围为__________.
这里 x 的定义域由 a 决定，因此还需要分类讨论
a=0 时 f(x)=2|x|-1 ，显然不满足条件
a>0 时 x 的定义域是 (-\infty,0]\cup[a,+\infty) ，则 ax\in(-\infty,0]\cup[a^2,+\infty) ，
换元令 ax=t 则 g(x)=2\sqrt{x^2-t}-|t-2|+1 有唯一零点，
当 t\leq0 时， x\leq0 ， g(x) 单调递减， g(0)=-1<0 而 x\to-\infty 时 g(x)\to+\infty 故存在唯一零点，
故 t>0,x\geq t 时不存在零点，由 g(x) 单调递增，只需 g(t)=-|t-2|+1>0 即 1<t<3 ，
此时 t=a^2 故 a\in(1,\sqrt3) ，
a<0 时同理可得 a\in(-\sqrt3,-1) ，故答案为 (-\sqrt3,-1)\cup(1,\sqrt3) .
2024广州二模数学第6题（新定义函数选择题）
若 x_0 是方程 f(g(x))=g(f(x)) 的实数解，则称 x_0 是函数 y=f(x) 与 y=g(x) 的“复合稳定点”.若函数 f(x)=a^x(a>0,a\neq1) 与 g(x)=2x-2 有且仅有两个不同的“复合稳定点，则 a 的取值范围为
A. (0,\frac{\sqrt2} 2)
B. (\frac{\sqrt2}{2},1)
C. (1,\sqrt2)
D. (\sqrt2,+\infty)
这个题也是我当时在考场上做的，想起来还是满满的回忆
由题 a^{2x-2}=2a^x-2 有且仅有两个实根，则 \frac{1}{a^2}a^{2x}-2a^x+2 有两个零点
由于 a^x\in(0,+\infty) ，令 a^x=t>0 故等价于 \frac{1}{a^2}t^2-2t+2=0 有两个正实根，又常数项为正，一次项系数为负故对称轴在 y 轴右侧，故只需 \Delta=4-\frac8{a^2}>0 得 a^2>2 ，又 a>0 故 a\in(\sqrt2,+\infty) ，答案选D.
2025届湖南高三9月联考数学第8题（选择压轴）
已知 a>1 ，若 \forall x\in(0,+\infty) ， \frac ax>\log_a\frac ax 恒成立，则 a 的取值范围是
A. (e^{\frac1e},+\infty)
B. (e^{e},+\infty)
C. (1,e^{\frac1e})
D. (1,e^{e})
令 \frac ax=t\in(0,+\infty) 即 t>\log_at=\frac{\ln t}{\ln a} 恒成立，即 \ln a>\frac{\ln t}{t} 恒成立，
求导易得 \frac{\ln t}{t} 的最大值为 \frac{1}e ，故 \ln a>\frac1e ，a 的取值范围是 (e^{\frac1e},+\infty)，答案选A.
分析
从例题的解决过程我们可以看出，当参数或自变量在表达式的其它部分单独出现时，换元只要能保证新变量使原先被代换的整体部分仍然能取遍定义域，换元后单独讨论依然可以保证解出的是充要条件，同时换元构造的新函数性质简单了太多（二次函数和常见指对函数），易于分析最值，单调性，零点等性质，无疑极大简化了问题，也契合“多想少算”的原则与导向。
