前言
只是分享一下我在考场上的做法（
其实今年新一卷的题一直想发文但又一直没有心理勇气（因为第10题那个极值点的定义红温了一会然后心态就不太稳了，最后到立体几何正弦当余弦导致彻底考寄了，也是直接导致差了那多选一个选项的两分没去到最理想的学校）
现在想想，还是发一下吧（这个题也是我整个高中数学几乎是最后的高光时刻了，后面17犯大病大寄特寄，19更是做不来一点
题目
已知 A(0,3) 和 P(3,\frac32) 为椭圆 C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 \space(a>b>0) 上两点.
(1). 求 C 的离心率；
(2). 若过 P 的直线 l 交 C 于另一点 B ，且 \triangle ABP 的面积为 9 ，求 l 的方程.
解析
第一问
直接求出方程解离心率.
代入 A 得 \frac9 {b^2}=1 故 b^2=9 ，再代入 P 得 \frac{3^2}{a^2}+\frac{\frac{3}{2}^2}{9}=1 得 a^2=12 ， a=2\sqrt3 ，故半焦距 c=\sqrt{a^2-b^2}=\sqrt3 ，离心率为 \frac12 .
第二问
你只需要一点数感：观察到下顶点满足条件，然后作平行线再结合椭圆的对称性即可.
注意到下顶点 B_1(0,-3) 满足 S_{\triangle AB_1P}=\frac12|AB_1|h_{P}=6\cdot3\cdot\frac12=9 故其满足条件，
由等面积法，过 B_1 作 l_1 \parallel AP 则 l_1 上任意一点与 AP 构成的三角形面积都为 9 ，
而 l_1 与 AP 关于原点对称，又椭圆为中心对称图形，
故 l_1 与椭圆 C 的另一个交点即为 P 关于原点的对称点 B_2(-3,-\frac32) ，显然也满足条件，
故 B_1(0,-3) 与 B_2(-3,-\frac32) 为满足条件的两个点 B ，则 B_1P 纵截距为 -3 ，斜率为 \frac{\frac32+3}{3-0}=\frac32 方程为 y=\frac32x-3 ；
由 P 与 B_2(-3,-\frac32) 关于原点对称， PB_2 方程即为 OP:y=\frac12x .
故l 的方程为 y=\frac32x-3 或 y=\frac12x .
写在最后
今年新一卷和新二卷两个题都涉及平行线的三角形等面积性质，也算是九省联考透露出来的一个方向吧
