你只需要一点数感——2024年新高考1卷解析几何

前言

只是分享一下我在考场上的做法（

其实今年新一卷的题一直想发文但又一直没有心理勇气（因为第10题那个极值点的定义红温了一会然后心态就不太稳了，最后到立体几何正弦当余弦导致彻底考寄了，也是直接导致差了那多选一个选项的两分没去到最理想的学校）

现在想想，还是发一下吧（这个题也是我整个高中数学几乎是最后的高光时刻了，后面17犯大病大寄特寄，19更是做不来一点

题目

已知$A(0,3)$和$P(3,\frac32)$为椭圆$C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 \space(a>b>0)$上两点.
(1). 求$C$的离心率；
(2). 若过$P$的直线$l$交 $C$于另一点$B$，且$\triangle ABP$ 的面积为$9$ ，求 $l$的方程.

解析

第一问
直接求出方程解离心率.

代入$A$ 得$\frac9 {b^2}=1$ 故 $b^2=9$，再代入$P$ 得$\frac{3^2}{a^2}+\frac{\frac{3}{2}^2}{9}=1$ 得$a^2=12$ ，$a=2\sqrt3$，故半焦距$c=\sqrt{a^2-b^2}=\sqrt3$ ，离心率为 $\frac12$ .

第二问
你只需要一点数感：观察到下顶点满足条件，然后作平行线再结合椭圆的对称性即可.
注意到下顶点$B_1(0,-3)$满足$S_{\triangle AB_1P}=\frac12|AB_1|h_{P}=6\cdot3\cdot\frac12=9$故其满足条件，

由等面积法，过$B_1$作$l_1 \parallel AP$则$l_1$上任意一点与$AP$构成的三角形面积都为$9$，
而$l_1$与$AP$关于原点对称，又椭圆为中心对称图形，

故$l_1$与椭圆$C$ 的另一个交点即为$P$关于原点的对称点$B_2(-3,-\frac32)$，显然也满足条件，

故 $B_1(0,-3)$与 $B_2(-3,-\frac32)$为满足条件的两个点$B$，则$B_1P$纵截距为$-3$，斜率为 $\frac{\frac32+3}{3-0}=\frac32$方程为$y=\frac32x-3$；

由$P$与$B_2(-3,-\frac32)$关于原点对称，$PB_2$方程即为$OP:y=\frac12x$.

故$l$的方程为$y=\frac32x-3$或$y=\frac12x$ .

写在最后

今年新一卷和新二卷两个题都涉及平行线的三角形等面积性质，也算是九省联考透露出来的一个方向吧