第二十题：一个游戏有 2005 个小孩参加，他们被编为 1 至 2005 号。此外，游戏中有 2005 张卡片，分别被编为 2 至 2006 号。现在要将卡片派给小孩，每人一张，且要求每人所得的卡片编号都是自己的编号的倍数。问有多少种不同的方法派发卡片？
设 m, n, k, a_n, b_k \in \N^*.
首先，当 1004 \leqslant m \leqslant 2005 时，因为 2m > 2006, 所以编号在 1004 之后的小孩只有一种派发方式，即派发等同于自己编号的卡片。
2006 的因数有 1, 2, 17, 59, 34 (2\times17), 118 (2\times59), 1003(17\times59), 2006. 我们尝试证明，若一小孩的编号在1003之前，且不属于2006的因数；则这个小孩只有一种派发方式，即派发等同于自己编号的卡片。
设 n \leqslant 1003, 且 n 不为 2006 的因数。假设编号为 n 的小孩派发编号为 a_1n 的卡片，此时编号为 a_1n 的小孩便只能派发编号为 a_1a_2n 的卡片。循环反复。
最后，必然存在 2(a_1a_2\cdots a_nn) > 1003. 因为编号 1004 至 2005 之间的卡片已经派发到同等编号的小孩，且 n 不为 2006 的因数，所以编号为 a_1a_2\cdots a_nn 的小孩无法派发任何卡片。矛盾！证明结束。
因此，题目等效于求编号为 1, 2, 17, 59, 34, 118, 1003 的小孩，与编号为 2, 17, 59, 34, 118, 1003, 2006 的卡片之间的派发方式种数。
当编号为 1 的小孩派发编号为 2006 的卡片时；容易看出，剩下的小孩只有一种派发方式，即派发等同于自己编号的卡片。
当编号为 2, 17, 59 的小孩派发编号为 2006 的卡片时；因为编号均为质数，所以对应编号的卡片只能派发给编号为 1 的小孩，即只有一种派发方式。
当编号为 34, 118, 1003 的小孩派发编号为 2006 的卡片时；因为编号有两个质因数，所以此时既可以将对应编号的卡片派发给编号为 1 的小孩，也可以派发给编号为其任意质因数的小孩，然后将编号为这个质因数的卡片派发给编号为 1 的小孩。一共有三种派发方式。
故而派发方式种数一共有 4+3+3+3 = 13 种。
本题答案为 \underline{13}.
