【进度 4/20】“国际数学奥林匹克——2006香港选拔赛” 个人解答

第一题：现在有两个正整数，其中一个是平方数。若两数之和比它们之积小2006，求两数之差。

设 $a,b \in \N^*$, 根据题意，有：$a+b^2+2006=ab^2$, 即 $a+2006 = (a-1)b^2$.
显然 $a-1 \neq 0$. 将 $a-1$ 除到左边，有

$$b^2 = \dfrac{a+2006}{a-1} = 1+\dfrac{2007}{a-1}$$

此时，符合题意的 $a$ 应当满足让 $1+\dfrac{2007}{a-1}$ 为完全平方数。

显然，$\dfrac{2007}{a-1}$ 必须为整数，即 $a-1$ 必须是 $2007$ 的因数。
$2007$ 的因数有 $1, 3, 9, 669, 2007$. 其中，只有当 $a-1 = 669$ 时，$b^2 = 1+3 = 4$ 为完全平方数。
此时 $a = 670$, $|a-b| = 666$.

本题答案为 $\underline{666}$.

第二题：求一个小于2006的正整数 $n$, 使得 $2006n$ 是 $2006+n$ 的倍数。

设 $a = \dfrac{2006n}{2006+n} = \dfrac{(2006^2+2006n)-2006^2}{2006+n} = 2006-\dfrac{2006^2}{2006+n}$, 题目等效于求满足 $\dfrac{2006^2}{2006+n}$ 为整数的 $n$.

因为 $n$ 为正整数且 $n$ 小于 2006, 所以 $2006 < 2006+n < 4012$. 我们的目标即为寻找落在区间 $(2006, 4012)$ 之间的、$2006^2$ 的因数。
质因数分解, 有 $2006^2 = (2\times17\times59)^2 = 4 \times 289 \times 3481$. 其中 $3481 \in (2006, 4012)$, 故而有 $2006+n=3481$, 即 $n = 1475$.

本题答案为 $\underline{1475}$.

第三题：若彼得以他正常的步速在一条开动中的扶手电梯上行走，那么通过整条扶手电梯需要 40 秒；若彼得以他两倍正常步速在扶手电梯上行走，那么通过整条扶手电梯需要 30 秒。如果彼得在扶手电梯上立定不行走的话，通过整条扶手电梯需要多少秒？

设彼得的正常速度为 $v$, 扶梯的速度为 $u$, 扶梯的长度为 $x$.
若彼得顺扶梯行进方向行走，则有方程：
$$\left\{\begin{aligned} 40(v+u) = x \\ 30(2v+u) = x \end{aligned}\right.$$

解得 $u = 2v$, $x = 120v$, 通过扶梯的时间为 $\dfrac{x}{u} = \dfrac{120v}{2v} = 60$.

若彼得逆扶梯行进方向行走；显然，$v > u$. 则有方程：
$$\left\{\begin{aligned} 40(v-u) = x \\ 30(2v-u) = x \end{aligned}\right.$$

解得 $u = -2v$. 此时，步行速度和扶梯速度必然一正一负。但是根据生活常识，速度不可能为负值。故此情况不符合题意。

本题答案为 $\underline{60}$.

第二十题：一个游戏有 2005 个小孩参加，他们被编为 $1$ 至 $2005$ 号。此外，游戏中有 2005 张卡片，分别被编为 $2$ 至 $2006$ 号。现在要将卡片派给小孩，每人一张，且要求每人所得的卡片编号都是自己的编号的倍数。问有多少种不同的方法派发卡片？

设 $m, n, k, a_n, b_k \in \N^*$.

首先，当 $1004 \leqslant m \leqslant 2005$ 时，因为 $2m > 2006$, 所以编号在 $1004$ 之后的小孩只有一种派发方式，即派发等同于自己编号的卡片。

$2006$ 的因数有 $1, 2, 17, 59, 34 (2\times17), 118 (2\times59), 1003(17\times59), 2006$. 我们尝试证明，若一小孩的编号在$1003$之前，且不属于$2006$的因数；则这个小孩只有一种派发方式，即派发等同于自己编号的卡片。
设 $n \leqslant 1003$, 且 $n$ 不为 $2006$ 的因数。假设编号为 $n$ 的小孩派发编号为 $a_1n$ 的卡片，此时编号为 $a_1n$ 的小孩便只能派发编号为 $a_1a_2n$ 的卡片。循环反复。
最后，必然存在 $2(a_1a_2\cdots a_nn) > 1003$. 因为编号 $1004$ 至 $2005$ 之间的卡片已经派发到同等编号的小孩，且 $n$ 不为 $2006$ 的因数，所以编号为 $a_1a_2\cdots a_nn$ 的小孩无法派发任何卡片。矛盾！证明结束。

因此，题目等效于求编号为 $1, 2, 17, 59, 34, 118, 1003$ 的小孩，与编号为 $2, 17, 59, 34, 118, 1003, 2006$ 的卡片之间的派发方式种数。

当编号为 $1$ 的小孩派发编号为 $2006$ 的卡片时；容易看出，剩下的小孩只有一种派发方式，即派发等同于自己编号的卡片。
当编号为 $2, 17, 59$ 的小孩派发编号为 $2006$ 的卡片时；因为编号均为质数，所以对应编号的卡片只能派发给编号为 $1$ 的小孩，即只有一种派发方式。
当编号为 $34, 118, 1003$ 的小孩派发编号为 $2006$ 的卡片时；因为编号有两个质因数，所以此时既可以将对应编号的卡片派发给编号为 $1$ 的小孩，也可以派发给编号为其任意质因数的小孩，然后将编号为这个质因数的卡片派发给编号为 $1$ 的小孩。一共有三种派发方式。
故而派发方式种数一共有 $4+3+3+3 = 13$ 种。

本题答案为 $\underline{13}$.