前言
最近这竞赛挺火，但我们只讨论题目
其实这个题还挺适合作为高考压轴导数题的（
和2020天津卷切线偏移一个背景，就是要分析正负多一些
题目
设 M,Q>0 ，记 f(r)=1-\frac M {r^2}+\frac Q {r^4}-r^2 ，若 f(r)=0 有三个不同正根 a,b,c ，证明： f'(a)+f'(b)<0 .
解析
题目为切线偏移（证明两个零点处的切线斜率和小于或大于零），等价于区间内三阶导数恒负或恒正，但本题不能直接证明，需要以拐点处的导数值为媒介进行放缩
f'(r)=2Mr^{-3}-4Qr^{-5}-2r=\frac{-2(r^2)^3+2Mr^2-4Q}{r^5} ，在 r>0 时符号为 -2(r^2)^3+2Mr^2-4Q 的符号，此式为关于 r^2 的三次式
换元令 r^2=t ， g(t)=-2t^3+2Mt-4Q\space(t>0) ，
g'(t)=-6t^2+2M 有唯一正根 \sqrt{\frac M3} 且先正后负，故 g(t) 先增后减，若 g(\sqrt{\frac M3})\leq0 则 g(t)<0 ， f'(r)<0 ， f(r) 单调递减，不可能有三个不同正根
故 g(\sqrt{\frac M3})>0 ，等价于 f'((\frac M3)^{\frac14})>0 ，而 x\to0^+ 时 f'(r)\to-\infty ， x\to+\infty 时 f'(r)\to-\infty
得 f'(r) 在 (0,(\frac M3)^{\frac14}) 有唯一零点 r_1 ，在 ((\frac M3)^{\frac14},+\infty) 有唯一零点 r_2 ，
且 f'(r) 在 (0,r_1) 和 (r_2,+\infty) 上为负， (r_1,r_2) 为正，
由 x\to0^+ 时 f(r)\to+\infty ， x\to+\infty 时 f(r)\to-\infty， f(a)=0，则必有 r_1>a ，否则最多一个零点，
依此类推，a<r_1<b<r_2<c ，
f''(r)=-6Mr^{-4}+20Qr^{-6}=2r^{-4}(-3M+10Qr^{-2}) 先正后负且有唯一零点 \sqrt{\frac{10Q}{3M}} ，
f'(r) 在 (0,\sqrt{\frac{10Q}{3M}}) 单调递增， (\sqrt{\frac{10Q}{3M}},+\infty) 单调递减，由类似于前述的单调性分析，则有 r_1<\sqrt{\frac{10Q}{3M}}<r_2 即
f'''(r)=24Mr^{-5}-120Qr^{-7}=24r^{-5}(M-5Qr^{-2}) 先负后正且有唯一零点 \sqrt{\frac{5Q}{M}}>\sqrt{\frac{10Q}{3M}}>r_1，
考虑 y=f(\sqrt{\frac{10Q}{3M}}) 与 y=f(r) 的两交点 r_3 和 r_4=\sqrt{\frac{10Q}{3M}} ，其中r_3<r_4，有 f'''(r) 在 (0,\sqrt{\frac{10Q}{3M}}) 上恒负，
先证明：若g(x_1)=g(x_2)，g'''(x)<0在(a,b)恒成立，则g'(x_1)+g'(x_2)<0
令 m=\frac{x_1+x_2}2 ，
对称化构造函数 h(x)=g(m+x)-g(m-x)(x\in[0,\frac{x_2-x_1}2]) ，则 h(0)=h(\frac{x_2-x_1}2)=0 ，
h'(x)=g'(m+x)+g'(m-x) ，有 h'(\frac{x_2-x_1}2)=g'(x_1)+g'(x_2) ，只需 h'(\frac{x_2-x_1}2)<0 ，
而 h''(x)=g''(m+x)-g''(m-x) ， h''(0)=0
h'''(x)=g'''(m+x)+g'''(m-x) ， h'''(x)<0 ， h''(x) 单减，
h''(x)\leq h''(0)=0 ， h'(x) 单减，
由 h(0)=h(\frac{x_2-x_1}2) ，得到 h'(0)=2h'(m)>0 且 h'(\frac{x_2-x_1}2)<0 ，否则 h'(x) 无变号零点， h(x) 单调与条件h(x_1)=h(x_2)矛盾，
故 h'(\frac{x_2-x_1}2)=g'(x_1)+g'(x_2)<0
若 \sqrt{\frac{10Q}{3M}}\leq b ：
由前述， f'(r_3)+f'(r_4)<0 ，
而 f'(r) 在 (a,r_3) 单增， f'(a)<f'(r_3) ，同理 f'(r) 在 (r_4,b) 单减， f'(b)<f'(r_4) ，故 f'(a)+f'(b)<f'(r_3)+f'(r_4)<0
若 \sqrt{\frac{10Q}{3M}}> b ：则f'''(r) 在 (a,b) 上恒负，同理直接证明 f'(a)+f'(b)<0 ，原命题得证.
思想分析
本题由于无法直接证明三阶导数符号，因此以拐点作为媒介进行放缩，缩短了需要讨论的区间长度。
