第三小问。
证明 AD 与 EF 互相平分，等价于证明四边形 AEDF 为平行四边形，等价于证明 AF // ED, 且 AF = ED.
设 EF = x, AF = y, 则有 BF = x+\frac{2\sqrt{10}}{5}. 因为 AF \bot BF, 所以 AF^2+EF^2=AE^2, AF^2+BF^2=AB^2, 即有以下方程：
\left\{\begin{aligned}
x^2+y^2 = \frac{4}{5} \\
(x+\frac{2\sqrt{10}}{5})^2 + y^2 = 4
\end{aligned}\right.
解之，得 x = y = \frac{\sqrt{10}}{5}, 即 AF = \frac{\sqrt{10}}{5}.
因为 \angle ADB = \angle BAC = 90 \degree, 所以 \triangle ABD \sim \triangle ABC, BD = \frac{AB \cdot AC}{BC} = \sqrt{2}.
因为 \triangle AEB \sim \triangle BEC, 所以 \angle CBE = \angle BAE, \cos\angle CBE = \cos\angle BAE = \frac{2\sqrt{5}}{5}.
连接 ED. 由余弦定理，有 ED = \sqrt{BD^2+BE^2-2\cos\angle CBE \cdot BD \cdot BE} = \frac{\sqrt{10}}{5}.
此时有 AF = ED.
又因为 BE^2 + ED^2 = BD^2, 所以 \angle BED = 90 \degree, 也即 \angle DEF = \angle AFB = 90 \degree.
此时有 AF // ED.
