2024年福建中考数学 第25题讲解

第一小问。
按比例缩放不影响形状和比值，不妨设 $OA = 1$, 则有 $AC = 2$, $OC = \sqrt{5}$.
而 $\frac{1}{2} OA \cdot AC = \frac{1}{2} OC \cdot AE = S_{\triangle} OAC$,
所以 $AE = \frac{OA \cdot AC}{OC} = \frac{2\sqrt{5}}{5}$,
此时 $OE = \sqrt{OA^2-AE^2} = \frac{\sqrt{5}}{5}$.
所以 $\frac{OE}{AE} = \frac{1}{2}$.

第三小问。
证明 $AD$ 与 $EF$ 互相平分，等价于证明四边形 $AEDF$ 为平行四边形，等价于证明 $AF // ED$, 且 $AF = ED$.

设 $EF = x$, $AF = y$, 则有 $BF = x+\frac{2\sqrt{10}}{5}$. 因为 $AF \bot BF$, 所以 $AF^2+EF^2=AE^2$, $AF^2+BF^2=AB^2$, 即有以下方程：
$$\left\{\begin{aligned} x^2+y^2 = \frac{4}{5} \\ (x+\frac{2\sqrt{10}}{5})^2 + y^2 = 4 \end{aligned}\right.$$

解之，得 $x = y = \frac{\sqrt{10}}{5}$, 即 $AF = \frac{\sqrt{10}}{5}$.

因为 $\angle ADB = \angle BAC = 90 \degree$, 所以 $\triangle ABD \sim \triangle ABC$, $BD = \frac{AB \cdot AC}{BC} = \sqrt{2}$.
因为 $\triangle AEB \sim \triangle BEC$, 所以 $\angle CBE = \angle BAE$, $\cos\angle CBE = \cos\angle BAE = \frac{2\sqrt{5}}{5}$.
连接 $ED$. 由余弦定理，有 $ED = \sqrt{BD^2+BE^2-2\cos\angle CBE \cdot BD \cdot BE} = \frac{\sqrt{10}}{5}$.
此时有 $AF = ED$.

又因为 $BE^2 + ED^2 = BD^2$, 所以 $\angle BED = 90 \degree$, 也即 $\angle DEF = \angle AFB = 90 \degree$.
此时有 $AF // ED$.