2024年福建中考数学 第23题讲解

第一小问。
若 $a = 0$, 则原式 $=b^2 \ge 0$.
若 $a \neq 0$, 则原式
$$= a^2(\frac{b^2}{a^2}-\frac{12c}{a}) = a^2[(3m+n)^2-12mn] = a^2(3m-n)^2 \ge 0$$

第二小问。
我们假设 $m$, $n$ 均为整数，则 $3m+n$ , $mn$ 显然均为整数。
显然，$b$, $c$ 均应为 $a$ 的倍数。我们令 $b = ap$, $c = aq$, 显然，此时 $p$, $q$ 均应为奇数。
此时有 $3m+n = p$, $mn = q$, 即 $3m+n$, $mn$ 均为奇数。
由 $mn$ 为奇数，可以推导出 $m$, $n$ 均为奇数。
设 $m = 2k_1+1$, $n = 2k_2+1$, 则 $3m+1 = 6k_1+2k_2+2$, 是一个偶数。矛盾！
故而 $m$, $n$ 不能均为整数。

核心思想：整数的加减和乘法运算后是整数，奇数加奇数是偶数，任何数乘以偶数都是偶数，这应该是小学奥数里的思想。

这道题我的思考过程是：
从题中的 $m$, $n$ 均为整数联系到 $3m+1$, $mn$ 是整数，从而联系到 $b$, $c$ 是 $a$ 的倍数，又因为 $b$, $c$ 都是奇数，所以是奇数倍。
此时代入一些数字，比如 $m = 1$, $n = 2$, 此时 $3m+1 = 5$, $mn = 2$; $m = 2$, $n = 1$, 此时 $3m+1 = 7$, $mn = 2$. 很容易就会觉得满足 $3m+1$ 为奇数的 $m$, $n$ 至少有一个为偶数，然后去证明它。

以事后诸葛亮的态度，这些思路是显然且顺畅的，但是这道题目当时还是耗费了我二十分钟以上的思考时间。