前言
很快就要二模了，最近整理复习资料时翻出来这个当时大家正确率不高的题，那就写一点吧（
题目
在同一平面直角坐标系中， M,N 分别是函数 f(x)=-\sqrt{-x^2+4x-3} 和函数 g(x)=ln(ax)-axe^x 图象上的动点，若对任意 a＞0 ，有 |MN|≥m 恒成立，则实数 m 的最大值为______________.
解答
不难发现， y=f(x) 的图象是个半圆，且圆心为 G(2,0) ，半径为 1 ，因此 |MN|\geq|NG|-1 ，当且仅当三点共线时取等。
接下来考虑对 g(x) 变换主元放缩：令 h(a)=g(x)=ln(ax)-axe^x ，则 h'(a)=\frac1a-xe^x ，关于 a 单调递减且有唯一零点 \frac{1}{xe^x} ，代入后得到 h(a)\leq h(\frac1{xe^x})=-x-1 实现了放缩与消元（显然可以取等），
而由点到直线的距离公式，不难得出 G 到 y=-x-1 的距离为 \frac{3\sqrt2}2 ，因此 |NG|\geq d=\frac{3\sqrt2}2 ，而 |MN|\geq|NG|-1=\frac{3\sqrt2}2-1 ，故实数 m 的最大值为 \frac{3\sqrt2}2-1 ，容易验证可以取到。
分析
通过变换主元，我们利用 g(x)=ln(ax)-axe^x 的结构特征实现了消元与放缩，且放缩后是直线，从而可以通过点到直线的距离公式解决问题。
