变换主元实现放缩——2024届广东高三四校联考填空压轴

前言

很快就要二模了，最近整理复习资料时翻出来这个当时大家正确率不高的题，那就写一点吧（

题目

在同一平面直角坐标系中， $M,N$分别是函数 $f(x)=-\sqrt{-x^2+4x-3}$和函数$g(x)=ln(ax)-axe^x$ 图象上的动点，若对任意 $a＞0$，有$|MN|≥m$恒成立，则实数 $m$的最大值为______________.

解答

不难发现，$y=f(x)$的图象是个半圆，且圆心为$G(2,0)$ ，半径为$1$，因此$|MN|\geq|NG|-1$ ，当且仅当三点共线时取等。

接下来考虑对$g(x)$变换主元放缩：令$h(a)=g(x)=ln(ax)-axe^x$ ，则 $h'(a)=\frac1a-xe^x$，关于 $a$单调递减且有唯一零点$\frac{1}{xe^x}$，代入后得到$h(a)\leq h(\frac1{xe^x})=-x-1$ 实现了放缩与消元（显然可以取等），

而由点到直线的距离公式，不难得出 $G$ 到$y=-x-1$ 的距离为$\frac{3\sqrt2}2$ ，因此 $|NG|\geq d=\frac{3\sqrt2}2$，而$|MN|\geq|NG|-1=\frac{3\sqrt2}2-1$，故实数 $m$ 的最大值为 $\frac{3\sqrt2}2-1$ ，容易验证可以取到。

分析

通过变换主元，我们利用 $g(x)=ln(ax)-axe^x$ 的结构特征实现了消元与放缩，且放缩后是直线，从而可以通过点到直线的距离公式解决问题。