临界分析确定答案——2024届浙江丽水、湖州、衢州高三二模联考立体几何压轴

前言

2023年新高考一卷的立体几何“包含”问题在沉寂多月（其实最近广东新南方联盟也考了，不过那个和23高考极其相似）后再次以全新的难度和思维水平在浙江湖丽衢二模中出现，并“创飞”了不少考生。

其实对于此类问题，分析临界情况，还是可以找到突破点的。

题目

已知正四面体 $A-BCD$ 的棱长为$1$ ，若棱长为$a$ 的正方体能整体放入正四面体$A-BCD$ 中，则实数$a$ 的最大值为___________________.

典型错解

一个典型的错误是求四面体内接球半径并以它为正方体对角线。这样求出来的只是可以任意转动（限制在内接球内）的正方体棱长的最大值，而正方体棱长取到题目要求的最大值时，其应该是被完全“卡死”的。

题目分析

不难得出正四面体高为$\frac{\sqrt6}3$
正方体棱长为 $a$ ，则棱长最大时的临界情况就是上底面内接于截面正三角形。（通过平面几何容易证明，内接于三角形的最大正方形其中一条边与三角形底边重合，如图所示）

此时不难得出最小三角形的边长为$(\frac{2\sqrt3}{3}+1)a$，

再从竖直方向考虑，由于正四面体平行于底面截面边长与截面到底面的距离成线性关系（使用相似三角形易证明），当高度为$a$时，此时的边长应为 $\frac{h-a}h=\frac{2-\sqrt6 a}2$ ，联立两式，即解得 $a=\frac6{4\sqrt3+6+3\sqrt6}$.

容易证明，若 $a$更大，则截面边长更小，不可能存在边长为$a$的内接正方形，故 $a=\frac6{4\sqrt3+6+3\sqrt6}$ 即为最大.

思维过程

我们运用了“高度最大时的极限状况”得出临界值，并利用“高度”和“上底面”两个条件得出方程组解决问题。

最后，祝大家备考顺利！