第一问。
直接写出余弦定理 \cos A = \frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}, 结论是非常显然的. 因为 a, b, c 是有理数，所以 2bc 是有理数，b^2+c^2-a^2 是有理数，两个非零有理数相除必然得到有理数。结束。
本题证明完毕。
第二问。
看见要求证明 “对于任意正整数 n”，我们的第一想法必然是使用数学归纳法。
首先看 n = 1 时的情况。很显然， \cos A 是有理数必然成立，因为这是题设条件。
然后我们要证明 n = k \; (k \in \N, k \ge 2), 且 \cos (k-1)A 是有理数时，\cos kA 成立。
用和角公式展开：
\cos kA = \cos(k-1+1)A = \cos(k-1)A\cos A - \sin (k-1)A\sin A
\cos(k-1)A\cdot\cos A 显然是有理数。难办的是 \sin (k-1)A\sin A，这个式子的结论是我们所未知的。
当然可以去探讨诸如当 \cos \alpha 是有理数时， \sin \alpha 是否为有理数这个论题。但是笔者不想继续探讨。笔者想找到一种公式，使得结论未知的“两个正弦函数相乘”转换为结论已知的和余弦函数有关的结论——例如积化和差公式。
使用积化和差公式后，原式有：
\cos kA = \cos(k-1)A\cos A + \frac{1}{2}[\cos kA - \cos(k-2)A] \\
\to \cos kA = 2\cos(k-1)A\cos A - \cos(k-2) A
当 k > 2 时, \cos(k-2) A 显然是有理数。当 k = 2 时，\cos(k-2) A = \cos 0 = 1.
所以对于任意的正整数 n, \cos nA 是有理数。
本题证明完毕。
全题解答完毕。
