题目
已知函数 f(x)=\frac{sinx}x .
（1）判断函数 f(x) 在区间 (0,3\pi) 上的极值点个数并证明；
（2）函数 f(x) 在区间 (0,+\infty) 上的极值点分别为 x_1,x_2,x_3...,x_n... ，设 a_n=f(x_n) ， S_n 为数列 a_n 的前 n 项和，
①证明： a_1+a_2<0 ；
②试问是否存在 n\in N^* 使得 S_n\geq0 ？若存在，求出 n 的取值范围；若不存在，请说明理由.
解析
第一问
第一问直接求导即可，但分析过程对后续证明有启发。
f'(x)=\frac{xcosx-sinx}{x^2} ，符号即为 xcosx-sinx 符号，极值点个数即为 xcosx-sinx 在区间 (0,3\pi) 上的零点个数，
由 xcosx-sinx=0 得 x=tanx （显然 x 不为 \frac\pi2+2k\pi(k\in Z) ），（后文的 k 均为整数）
同时 tanx>0 当且仅当 x\in(k\pi,k\pi+\frac\pi 2) ，故 x>0 时其解必在这个区间内
令 g(x)=tanx-x (x\in(k\pi,k\pi+\frac\pi 2)) ，
g'(x)=\frac1{cos^2x}-1>0 ，故在 x\in(k\pi,k\pi+\frac\pi 2) 时 g(x) 单调递增，而 g(k\pi)=-k\pi<0 ， x\to k\pi+\frac\pi 2 时 g(x)\to+\infty ，在区间上存在唯一零点，
故对于 \forall k>0,k\in Z ， f(x) 在 (k\pi,k\pi+\frac\pi 2) 上有唯一极值点，令 k=1,2 即得出有 2 个极值点。
第二问
先进行隐零点代换，
f(x_n)=\frac{sinx_n}{x_n},f'(x_n)=0\Leftrightarrow x_ncosx_n=sinx_n,f(x_ n)=cosx_n ，
此时由前述分析知， x_n\in(n\pi,n\pi+\frac\pi 2) ，
当 n 为奇数时 a_n<0 ，当 n 为偶数时 a_n>0 ，
此时我们用诱导公式转化到同一区间 (0,\frac\pi2) ：
cos(x_n)=-cos(x_n-n\pi) （n 为奇数），
cos(x_n)=cos(x_n-n\pi) （n 为偶数），
而由前述分析知 g(x_n)=0 ，转化到 (0,\frac\pi2) 后利用正切函数周期性消掉 x_n ：
g(x_n-n\pi)=tan(x_n-n\pi)-x_n+n\pi=tanx_n-x_n+n\pi=g(x_n)+n\pi=n\pi ，
显然 g(x_n-n\pi) 随 n 单调递增，
且由 g(x) 在 (0,\frac\pi2) 单调递增可知 x_n-n\pi 随 n 单调递增（复合函数单调性）
而 cosx 在(0,\frac\pi2) 单调递减，故 cos(x_{2k+1}-(2k+1)\pi)>cos(x_{2k+2}-(2k+2)\pi) ，而 cos(x_{2k+1})=-cos(x_{2k+1}-({2k+1})\pi) ， cos(x_{2k+2})=cos(x_{2k+2}-({2k+2})\pi) ，
a_{2k+1}+a_{2k+2}=cos(x_{2k+1})+cos(x_{2k+2})=cos(x_{2k+2}-({2k+2})\pi)-cos(x_{2k+1}-({2k+1})\pi)<0
，令 k=1 即可证明①，
而当 n 为偶数时，累加后显然 S_n<0 ；n 为奇数时，由于 n 为奇数时 a_n<0 ，故 S_n<S_{n-1}<0 (n\geq3) 或 S_1=a_1<0 ，故不存在 n\in N^* 使得 S_n\geq0 。
题目分析
本题利用三角函数周期性转化到同一周期内讨论，再利用隐零点代换将函数值转化为简单的三角函数值，体现了化归思想，同时也综合了函数和数列的处理。
后记
欢迎大家一起探讨更优的解法，祝大家学习进步！
