第二问。
因为 \angle ABR = 90 \degree, 所以 \angle ARB < 90 \degree, 即 \angle ARQ < 90 \degree, \beta < 90 \degree.
要证明 \angle ARQ < \beta, 只需要证明 \sin \angle ARQ < \sin \beta, 即 \frac{\sin \beta}{\sin \angle ARQ} > 1.
依据平面几何的分角定理,有
\frac{BR\sin \beta}{AR \sin\angle ARQ} = \frac{BQ}{AQ} = \frac{1}{2}
稍作变形,有:
\frac{\sin \beta}{\sin\angle ARQ} = \frac{2AR}{BR}
如果能够证明 \frac{2AR}{BR} > 1, 则完成了这一问的证明。
设 A 点坐标为 (0, 0), R 点坐标为 (3, a) (a \in (0, 1)), 显然,B 点坐标为 (3, 0).
由两点间距离公式可以得到:AR = \sqrt{a^2+9}, BR = a. 则有:
\frac{2AR}{BR} > 1\ \to \frac{2 \sqrt{a^2+9}}{a} > 1
两边同时平方,有:
\frac{4a^2+36}{a^2} = 4+\frac{a^2}{36} > 1
无论 a 取何值,不等式左边恒大于 4. 不等式显然成立。
本题证明完毕。