前言
2023年新高考1卷的解析几何试题具有强烈的反套路特点，其下界不在对称位置取到也成为了其亮点。但是，绝大部分解法中使用的“绝对值不等式”消参在新高考地区并非必学内容，这使得很多考生难以想到，同时其取等条件特点也使其无法得到每一段的最小值而只能找到全局下界。
通过平移图形并利用图形的对称性限定范围，我们可以绕开绝对值，再进行主元求导分段放缩，不仅能证明题设问题，还能更深一层地理解不同情况下的下界。
题目
（节选自2023年新高考一卷22题）抛物线 W 的方程为 y=x^2+\frac14 ，已知矩形 ABCD 有三个顶点在 W 上，证明：矩形 ABCD 的周长大于 3\sqrt3 .
解析
不妨设 A,B,C 在 W 上，其中 \angle ABC=90^\circ ，矩形 ABCD 的周长为 C_{ABCD}
根据初中知识：抛物线形状仅有二次项系数决定，故将 B 点移至原点，
平移后 W':y=x^2+ax 与 W 形状一样（不影响周长）；
由对称性，不妨 a\geq0 ；
设平移后的 B'C':y=kx(k>y'|_{x=0}=a) （若 k<a ，则 B' 不为直角顶点，由对称性此时以A’ 为直角顶点等价），则 B'A':y=-\frac1kx ，
联立 B'C' 和 W ，得 x_{C'}=k-a>0 ， |B'C'|=\sqrt{k^2+1}(k-a) ，
联立 B'A' 和 W ，得 x_{A'}=-a-\frac1k<0 ， |B'A'|=\sqrt{k^2+1}(\frac ak+\frac1{k^2}) ，
故 \frac{ C_{ABCD}} 2=|B'A'|+|B'C'|=\sqrt{k^2+1}(k-a+\frac ak+\frac 1{k^2})\space(0\leq a<k)
根据其形式，其为关于 k 的复杂函数，但是是关于 a 的一次函数，所以我们先以 a 为主元研究；
设 g(a)=\sqrt{k^2+1}(k-a+\frac ak+\frac 1{k^2})\space(0\leq a<k) ， g'(a)=\sqrt{k^2+1}(\frac1k-1) ，
在 k\in(0,1) 时 g'(a)>0 ， k\geq1 时 g'(a)\leq0 ；
若 k\in(0,1) ， g(a) 随 a 单调递增， g(a)\geq g(0)=\sqrt{k^2+1}(k+\frac 1{k^2}) ，
若 k\geq1 ，g(a) 随 a 单调递减， g(a)>g(k)=\sqrt{k^2+1}(1+\frac 1{k^2}) ，
当 k\in(0,1) 时，设 h(k)=\sqrt{k^2+1}(k+\frac 1{k^2}) ， h'(k)=(\frac{2k^5+k^3-k^2-2}{k^3(k^2+1)})\sqrt{k^2+1} ，其符号为 m(k)=2k^5+k^3-k^2-2 符号，
又 m(0)=-2<0,m(1)=0 ， m'(k)=10k^4+3k^2-2k=k(10k^3+3k-2) 在 (0,1) 上先负后正， m(k) 在 (0,1) 上先减后增， m(k)\leq max({m(0),m(1)})=0 ，故 h'(k)\leq0 ， h(k) 单调递减， h(k)>h(1)=2\sqrt2 ；
当 k\geq1 时，设 s(k)=\sqrt{k^2+1}(1+\frac 1{k^2}) ，换元令 \sqrt{k^2+1}=t(t\geq\sqrt2) ， w(t)=s(k)=\frac{t^3}{t^2-1} ，
w'(t)=\frac{t^2(t^2-3)}{(t^2-1)^2} ， t\in(\sqrt2,\sqrt3] w'(t)\leq0 ， t>\sqrt3 时 w(t)>0 ，
故 w(t)\geq w(\sqrt3)=\frac{3\sqrt3}{2} ，由于 \frac{3\sqrt3}{2}<2\sqrt2 ，故 C_{ABCD}=2g(a)>2g(k)=2s(k)=2w(t)>3\sqrt3 ，原命题得证。
题目分析
通过平移图形，我们避开了绝对值，并设参数后利用主元法对复杂函数的最值进行了分段求解。从过程中不难看出，当长方形一条边斜率小于 1 时，在对称位置时取得局部最小值 4\sqrt2 ，而当一条边斜率大于 1 时，在趋于与切线重合时的位置趋于最小值 3\sqrt3 ，而这个分段是使用绝对值方法很难发现的。
后记
高考真题的参考价值往往极强，欢迎大家一起探讨更优的解法，祝大家学习进步！
