复数坐标系的继续拓展——全复数坐标系，以及一个二次函数和一个椭圆方程的全复数图像

为了绘制出函数 $v = w^2+3w-6$ 的全复数图像，首先必须求解方程 $v = w^2+3w-6$ 在复数范围内的解。
设 $w = x+zi$, $v = y+ui$, 则有 $y+ui = (x+zi)^2+3(x+zi)-6$.
即
$$(x^2-z^2+3x-y-6)+(2xz+3z-u)i = 0$$
由上式可得
$$\left\{\begin{aligned} x^2-z^2+3x-y-6 = 0 \\ 2xz+3z-u = 0 \end{aligned}\right.$$

则函数 $v = w^2+3w-6$ 的实复数图像，相当于空间坐标系中 $x^2-z^2+3x-y-6 = 0$ 的图像；函数的虚复数图像，相当于空间坐标系中 $2xz+3z-y = 0$ 的图像。
使用数学软件分别绘制，有：

（巧合的是，它们都是双曲抛物面）

图像 $w^2 + v^2 = 24$ 的绘制也是同理。
做和上文相同的代换，则有 $(x+zi)^2+(y+ui)^2 = 24$
即
$$(x^2-z^2+y^2-u^2)+(2xz-2yu)i = 0$$

由上式可得
$$\left\{\begin{aligned} x^2-z^2+y^2-u^2 = 0 \\ 2xz-2yu = 0 \end{aligned}\right.$$

由 $2xz-2yu = 0$ 可以得到 $u = \frac{xz}{y}$ 或 $y = \frac{xz}{u}$.
将 $u = \frac{xz}{y}$ 代入 $x^2-z^2+y^2-u^2 = 0$, 有
$$x^2 - z^2 + y^2 - \frac{x^2z^2}{y^2} = 24$$
即
$$y^4 + x^2y^2 - x^2z^2 - y^2z^2 - 24 = 0$$

将 $y = \frac{xz}{u}$ 代入 $x^2-z^2+y^2-u^2 = 0$, 容易得到类似的结果
$$-u^4+x^2u^2+x^2z^4-u^2z^2-24 = 0$$

则函数 $w^2 + v^2 = 24$ 的实复数图像，相当于空间坐标系中 $y^4 + x^2y^2 - x^2z^2 - y^2z^2 - 24 = 0$ 的图像；函数的虚复数图像，相当于空间坐标系中 $-y^4+x^2y^2+x^2z^4-y^2z^2-24 = 0$ 的图像。
很遗憾，笔者的Wolfram Mathematica 12无法绘制出它们的图像。读者中若有能够成功绘制出这两个图像的，希望能联系笔者，笔者将不胜感激。