二次多项式定理及它的一种证明

证明：
使用数学归纳法证明。

1. 证明在 $n=1$ 时，原式成立。
   当 $n=1$ 时，原式左边 = $a_1^2$, 原式右边 = $\sum^{1}_{i = 1} a_i^2+ \sum^{0}_{j=1}\sum^{1}_{k=j+1}2a_ja_k$ = $a_1^2$， 左边 = 右边.

2. 证明能从 $n = m$ 时原式成立，推导出 $n = m+1$ 时原式成立。
   当 $n=m+1$ 时，原式左边 =
   $$(a_1+a_2+a_3+...+a_m+a_{m+1})^2 = ((a_1+a_2+a_3+... + a_m)+a_{m+1})^2\\ = (a_1+a_2+a_3+...+a_m)^2+a_{m+1}^2 + 2a_{m+1}(a_1+a_2+a_3+...+a_m)\\ = \sum^{m}_{i=1}a_i^2+\sum^{m-1}_{j=1}\sum^{m}_{k=j+1}2a_ja_k + a_{m+1}^2 + \sum^{m}_{l=1} 2a_la_{m+1}\\ = \sum^{m+1}_{i=1}a_i^2+\sum^{m}_{j=1}\sum^{m+1}_{k=j+1}2a_ja_k$$

证明完毕。
二次多项式定理的性质也可以拓展到高次多项式定理。这里留作笔者自己未来研究。