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二次多项式定理及它的一种证明

夏草

在这篇文章中，笔者将阐述二次多项式定理，并给出它的一个证明。

所谓二次多项式定理，则对于任意一个二次多项式 (a_1+a_2+a_3+...+a_n)^2，都有
(a_1+a_2+a_3+...+a_n)^2 = \sum^{n}_{i = 1} a_i^2+ \sum^{n-1}_{j=1}\sum^{n}_{k=j+1}2a_ja_k
也可以写作
(a_1+a_2+a_3+...+a_n)^2 = a_1^2+a_2^2+a_3^2+...+a_n^2+2a_1a_2+2a_1a_3+...+2a_1a_{n-1}+2a_1a_n+2a_2a_3+...+2a_{n-1}a_n

夏草

证明：
使用数学归纳法证明。

证明在 n=1 时，原式成立。
当 n=1 时，原式左边 = a_1^2, 原式右边 = \sum^{1}_{i = 1} a_i^2+ \sum^{0}_{j=1}\sum^{1}_{k=j+1}2a_ja_k = a_1^2，左边 = 右边.
证明能从 n = m 时原式成立，推导出 n = m+1 时原式成立。
当 n=m+1 时，原式左边 =
(a_1+a_2+a_3+...+a_m+a_{m+1})^2 = ((a_1+a_2+a_3+... + a_m)+a_{m+1})^2\\ = (a_1+a_2+a_3+...+a_m)^2+a_{m+1}^2 + 2a_{m+1}(a_1+a_2+a_3+...+a_m)\\ = \sum^{m}_{i=1}a_i^2+\sum^{m-1}_{j=1}\sum^{m}_{k=j+1}2a_ja_k + a_{m+1}^2 + \sum^{m}_{l=1} 2a_la_{m+1}\\ = \sum^{m+1}_{i=1}a_i^2+\sum^{m}_{j=1}\sum^{m+1}_{k=j+1}2a_ja_k

证明完毕。
二次多项式定理的性质也可以拓展到高次多项式定理。这里留作笔者自己未来研究。

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