二次代换整体构造——2023届武汉四调圆锥曲线的快速解法

前言

在数学的探索之旅中，优化运算始终是我们追求的目标之一。在解决圆锥曲线问题时，运算的复杂性和准确性往往成为考验我们数学能力的关键环节。在式子结构复杂时，传统的“直曲联立，韦达代入”的做法会带来极大的运算量，而通过整体构造的策略进行二次代换“设而不求”，可以极大地简化运算步骤，绕开复杂的代数式，提高解题效率。

在本文中，我们将聚焦二次代换法在2023届武汉四调圆锥曲线题目中的应用。

题目

（第一问就不放了）

（节选自2023届武汉四调21）过点$(4,2)$ 的动直线$l$与双曲线 $E:\frac{x^2}4-\frac{y^2}4=1$ 交于 $M,N$ 两点，点$P$是直线$y=x+1$上一定点，设直线$PM,PN$ 的斜率分别为$k_1,k_2$ ，若 $k_1k_2$ 为定值，求点 $P$的坐标.

题解

先把点的坐标设出来

设点 $P(x_0,x_0+1),M(x_1,y_1),N(x_2,y_2)$

接下来分析目标式：$k_1k_2=\frac{(y_1-x_0-1)(y_2-x_0-1)}{(x_1-x_0)(x_2-x_0)}=\frac{y_1y_2-(x_0+1)(y_1+y_2)+(x_0+1)^2}{x_1x_2-x_0(x_1+x_2)+x_0^2}$ ，已经出现了韦达定理的形式，但显然直接联立代入会出现大量复杂代数式，而实际上我们并不需要具体解出，只需要得到它们的关系，

根据动直线$l$过点 (4,2) ，可以得到$\frac{y_1-2}{x_1-4}=\frac{y_2-2}{x_2-4}$ ，即$$\begin{equation} \left\{ \begin{aligned} x_2(y_1-2)-x_1(y_2-2)=4(y_1-y_2)\\ y_1(x_2-4)-y_2(x_1-4)=2(x_2-x_1) \end{aligned} \right. \end{equation}$$

为利用好点在二次曲线上这个条件带来的二次式结构特征，同时尽可能保留原式对称性避免重复计算，利用平方差公式进行二次代换：由$x_2(y_1-2)-x_1(y_2-2)=4(y_1-y_2)$ ，可以得到 $x_2(y_1-2)+x_1(y_2-2)=\frac{x_2^2(y_1-2)^2-x_1^2(y_2-2)^2}{x_2(y_1-2)-x_1(y_2-2)}=\frac{(y_2^2+4)(y_1-2)^2-(y_1^2+4)(y_2-2)^2}{4(y_1-y_2)}=y_1y_2-4$，

将与目标式结构相近的项整理到一边，即 $x_1y_2+x_2y_1=y_1y_2+2(x_1+x_2)-4$

同理，为消去我们不需要的 $x_1y_2+x_2y_1$，对另一个式子进行同样的代换，得到$x_1y_2+x_2y_1=4x_1x_2-10(x_1+x_2)+4(y_1+y_2)+16$

消去$x_1y_2+x_2y_1$ ，整理得$y_1y_2-4(y_1+y_2)=4x_1x_2-12(x_1+x_2)+20$

回到目标式，整理成相同形式即$k_1k_2({x_1x_2-x_0(x_1+x_2)+x_0^2})={y_1y_2-(x_0+1)(y_1+y_2)+(x_0+1)^2}$ ，比较$x_1x_2$ 与 $y_1y_2$ 项系数，直接得到$k_1k_2=4$，再比较其他项系数，仅有 $x_0=3$ 时符合题意

故$P(3,4)$，斜率之积$k_1k_2=4$

分析

我们在解题过程中，运用了设而不求的思想，发现目标式仅为系数关系而不需要具体坐标，从而绕开了具体的韦达表达式，同时，利用圆锥曲线二次式的结构特点，运用平方差公式进行二次代换相对于直接代入联立能更高效地运用条件，从而实现运算的优化。

写在最后

通过对武汉四调圆锥曲线问题的解决，我们可以看到二次代换整体构造法在解决圆锥曲线问题中的强大威力。它不仅能够简化复杂的计算过程，更能够帮助我们从一个全新的角度审视圆锥曲线运算中的“设而不求”思想。

当然，任何一种解题方法都不是万能的，二次代换整体构造法也不例外。它需要我们具备一定的数学基础和逻辑思维能力，同时在实际应用中灵活变通，结合题目的具体条件和要求进行合理运用。

愿每一位热爱数学、追求卓越的学子都能在圆锥曲线的探索旅程中找到属于自己的解题之道。在未来的学习和生活中，无论遇到怎样的挑战和困难，都能像攻克圆锥曲线难题一样，坚定信心，勇往直前。