示例文档 (test1.typ)
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已知 $triangle.t A B C$ 的三边长都是有理数。
1. 求证 $cos A$ 是有理数。
2. 求证对于任意正整数 $n$, $cos n A$ 是有理数。
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#indent 第一问。 \
#indent 直接写出余弦定理 $cos A = frac(b^2+c^2-a^2, 2b c)$, 结论是非常显然的. 因为 $a$, $b$, $c$ 是有理数，所以 $2b c$ 是有理数，$b^2+c^2-a^2$ 是有理数，两个非零有理数相除必然得到有理数。结束。\
#indent 本题证明完毕。\
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#indent 第二问。 \
#indent 看见要求证明 “对于任意正整数 $n$”，我们的第一想法必然是使用数学归纳法。\ \
#indent 首先看 $n = 1$ 时的情况。很显然， $cos A$ 是有理数必然成立，因为这是题设条件。 \
#indent 然后我们要证明 $n = k$; $k in NN$, $k gt.eq.slant 2$, 且 $cos (k-1)A$ 是有理数时，$cos k A$ 成立。 \ \
#indent 用和角公式展开： \
$ cos k A = cos(k-1+1)A = cos(k-1)A cos A - sin (k-1)A sin A $ \
#indent $cos(k-1)A dot cos A$ 显然是有理数。难办的是 $sin (k-1)A sin A$，这个式子的结论是我们所未知的。\ \
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#indent 当然可以去探讨诸如当 $cos alpha$ 是有理数时， $sin alpha$ 是否为有理数这个论题。但是笔者不想继续探讨。笔者想找到一种公式，使得结论未知的“两个正弦函数相乘”转换为结论已知的和余弦函数有关的结论——例如积化和差公式。\
#indent 使用积化和差公式后，原式有：\
$ cos k A = cos(k-1)A cos A + frac(1, 2) [cos k A - cos(k-2)A] $
$ arrow.r cos k A = 2 cos(k-1)A cos A - cos(k-2) A $ \
#indent 当 $k > 2$ 时, $cos(k-2) A$ 显然是有理数。当 $k = 2$ 时，$cos(k-2) A = cos 0 = 1$. \
#indent 所以对于任意的正整数 $n$, $cos n A$ 是有理数。
展示图
