极坐标和直角坐标显然是可以互相转换的。
对于直角坐标 (x, y) (x^2+y^2 \neq 0 ), 其极径 \rho = \sqrt{x^2+y^2}.
为了获得其极角，我们需要考察此点和原点连接形成线段的斜率 k = \frac{y}{x}.
当 x = 0 时，线段的斜率不存在。此时容易得到此坐标的极角为 \frac{\pi}{2}...... 才怪！
考察两个直角坐标 (0, 3) \space \space (0, -3), 它们与原点形成线段的斜率都不存在，但是它们的极角却分别为 \frac{\pi}{2} 和 -\frac{\pi}{2}, 而它们的唯一区别只在于 y 的正负性。这也提示我们需要根据该点所在的象限分类讨论。
当 x \neq 0 时，设 \alpha = arctan \frac{y}{x}. 因为 arctan(x) \in (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}), 当这一点在第一象限，第四象限和 x 轴正半轴时，\alpha 就是它的极角。而当这一点在第二象限，第三象限和 x 轴负半轴时，需要结合诱导公式求出它们的极角。
最终有：
\theta=\left\{\begin{aligned}
arctan \frac{y}{x} \space (x > 0) \\
arctan \frac{y}{x}+\pi \space (x < 0, y \ge 0) \\
arctan \frac{y}{x}-\pi \space (x < 0, y < 0) \\
\frac{\pi}{2} \space (x = 0, y > 0) \\
-\frac{\pi}{2} \space (x = 0, y < 0) \\
\end{aligned}\right.
后来数学家为了简化表示，规定了专门用于求极坐标的反正切函数变体 atan2(x, y). 这样，直角坐标 (x, y) (x^2+y^2 \neq 0 ) 的极坐标即为 (\sqrt{x^2+y^2}, atan2(x, y)).
