前言
近期,以马尔科夫链上的无穷递推为背景的概率与期望计算成为了命题热点,武汉二调、中科大少创班测试都有所涉及。对这种步骤可能趋于无穷的递推,我们需要的解题策略其实是从不同状态下手,利用题目信息建立状态转移方程并解出结果,才能有效解决此类问题。
下面,让我们分析几道分别从“概率”和“期望”角度命制的例题的解题思路。
概率递推
武汉二调T14
“布朗运动”是指微小颗粒永不停息的无规则随机运动,在如图所示的试验容器中,容器由三个仓组成,某粒子作布朗运动时每次会从所在仓的通道口中随机选择一个到达相邻仓或者容器外,一旦粒子到达容器外就会被外部捕获装置所捕获,此时试验结束. 已知该粒子初始位置在1号仓,求试验结束时该粒子是从1号仓到达容器外的概率.
由题,总共有三个状态(在第 n 号仓),设出目标事件“当前在第 n 号仓时,从1号仓到达容器外的概率为 P_n ,
则在1号仓时,有 \frac23 的概率直接出去(完成事件), \frac13 的概率到达2号仓
则由全概率公式, P_1=\frac23+\frac13P_2 ,
同理, P_2=\frac13P_1+\frac13P_3 , P_3=\frac12P_2 (若离开则肯定无法转移到最后状态,概率为0),
联立三个一次方程组,解得 P_1=\frac{10}{13} ,故答案为 \frac{10}{13} .
从解题过程中可以发现,思路的核心在于用全概率公式写出不同状态之间的转移,从而得到方程组。
2024届中科大少创班考试
甲乙两人比赛,甲胜概率为 P ,乙胜概率为 1-P ,比对方先多胜两局判胜,求甲胜概率.
由于“多胜两局”就能获胜,以甲比乙多胜的局数 n 作为本题的状态,则在结束前 n 的可能取值为 -1,0,1 ,且初始值为 0 .
我们同样设出目标事件“当前甲比乙多胜的局数为 n 时,甲胜的概率为 P_n”
则由全概率公式, P_0=P\cdot P_1+(1-P)\cdot P_{-1}
P_1=P+(1-P)P_0 (若输了则转移回到0,胜利了直接结束,转移到目标状态)
P_{-1}=P\cdot P_0 (输了直接结束,不可能转移到目标状态)
联立解得 P_0=\frac{P^2}{2P^2-2P+1} ,即为答案.
虽然没给出具体概率,但思路是一样的。
期望递推
除了从概率角度分析外,还有一部分题目是计算期望。
期望的状态转移类似,但是要加上转移过程本身对期望的影响,下面我们分析一道例题:
2023届潍坊一模
乒乓球被称为我国的“国球”,甲、乙两名运动员进行乒乓球比赛,其中每局中甲获胜的概率为 \frac34 ,乙获胜的概率为 \frac14 ,每局比赛都是相互独立的,若两人约定其中一人比另一人多赢两局时比赛结束,求需要进行的比赛局数的数学期望.
和中科大的题目类似,以甲比乙多胜的局数 n 作为本题的状态,则在结束前 n 的可能取值为 -1,0,1 ,且初始值为 0 ,
分析当前在 n 时的剩余次数期望:
设出目标“当前甲比乙多胜的局数为 n 时,还需要进行的比赛局数为 X_n,期望为 E(X_n) ”
则从 X_0 转移到 X_1 或 X_{-1} 时,期望为转移结束后位置的期望加上比赛本身(转移过程)带来的期望增量 1 ,
得到 E(X_0)=\frac34(E(X_1)+1)+\frac14(E(X_{-1})+1)=\frac34E(X_1)+\frac14E(X_{-1})+1 ;
同理,
E(X_1)=\frac34+\frac14(E(X_{0})+1)=\frac14E(X_{0})+1
E(X_{-1})=\frac14+\frac34(E(X_{0})+1)=\frac34E(X_{0})+1
联立解得 E(X_0)=\frac{16}5 ,即为所求.
2024届华南师大附中高三开学测22题/2024届佛山市高三上学期教育教学质量检测模拟(二)21题
本题也是基于期望的马尔科夫链模型,而且有双重状态转移,难度较大,结合前两问的不等式证明铺垫目前仍时有出现在19题新结构试卷的压轴位置。
某铁道线上共有 84 列列车运行,且每次乘坐到任意一列列车的概率相等,设随机变量 X 为恰好乘坐一次全部列车所乘坐的次数,试估算 \frac {E(X)}{84} 的值(结果保留整数).
参考数据: ln2\approx0.6931,ln3\approx1.0986,ln7\approx1.9459
参考公式: ln(n+1)+\frac1{2n+1}<1+\frac12+\frac13+...+\frac1n\leq lnn+1
这个题我们需要把期望分解:设当前已经乘坐 n 列列车时,乘坐到一列之前未乘坐过的列车的次数为 X_n ,
显然,有 \frac{84-n}{84} 的概率 X_n=1 ,反之若乘坐到之前已乘坐过的列车,则对当前状态没有任何影响,但是次数却需要 +1 ,因此 E(X_n)=\frac{84-n}{84}\cdot1+\frac{n}{84}\cdot(E(X_n)+1) ,解得 E(X_n)=\frac{84}{84-n} ;
由于 X=X_0+X_1+...+X_{83} ,因此 E(X)=E(X_0)+E(X_1)+E(X_2)+...+E(X_{83})=1+\frac{84}{83}+\frac{84}{82}+...+84 ;
\frac{E(X)}{84}=1+\frac12+\frac13+...+\frac{1}{84} ,由题设不等式可知 4.93<E(X)<5.43 ,故 \frac{E(X)}{84}\approx5 .
写在最后
在分析马尔科夫链无穷递推背景下的概率与期望计算的过程中,我们探索了状态转移方程的建立与求解方法。分析无穷概率过程如同漫步在数学的迷宫之中,每一步都充满了未知与挑战。在这个迷宫中,状态转移方程的建立与求解,便是我们手中的明灯,照亮我们前行的道路。此类问题的关键在于根据题目信息,设定状态,利用全概率公式或期望的可加性建立状态转移方程,并解出概率或期望。希望在未来的日子里,我们都将自在地在数学的海洋中遨游,探寻更多的未知与奥秘,不断挑战自我、超越自我,提升数学素养与思维能力。