前言
解析几何常常以其繁杂的计算而成为高考备考中的易错点与难点。解析几何虽然“解析”，但其本质还是“几何”，而巧妙发觉几何关系并利用向量等几何关系有时能极大简化运算。
下面让我们以向量的视角来看2024届浙江名校协作体高三下学期联考/九五名校联考（今年名协拉上了包括衡水，南京一中，华附，湖师附在内的全国多所名校一起）的解析几何题中的面积关系。
题目
已知过点 (1,0) 的直线与抛物线 E:y^2=2px\space(p>0) 交于 A,B 两点， O 为坐标原点，当直线 AB 垂直于 x 轴时， \triangle AOB 的面积为 \sqrt2 .
（1）求抛物线E的方程；
（2）若 O 为 \triangle ABC 的重心，直线 AC,BC 分别交 y 轴于点 M,N ，记 \triangle MCN,\space \triangle AOB 的面积分别为 S_1, S_2 ，求 \frac{S_1}{S_2} 的取值范围.
解答
第一小问
不妨 A 在 x 轴上方，则可以得到 S_{\triangle AOB}=\frac12\cdot1\cdot|AB| ，易得 A(1,\sqrt2) ，代入解得 p=1，E:y^2=2x .
第二小问
我们先把要求的图形画出来：
根据图形特征，我们选定 \vec {CA},\vec {CB} 为基底向量研究，
则由 O 为 \triangle ABC 的重心，得 \vec {CO}=\frac23\cdot\frac12\cdot(\vec {CA}+\vec {CB})=\frac13\vec {CA}+\frac13\vec {CB} ，
设 \vec {CM}=\lambda\vec {CA},\vec {CN}=\mu\vec {CB} ，则由 A,B 在 y 轴右侧，易得 \lambda,\mu\in(\frac12,1) ，由重心的性质， S_2=\frac13S_{\triangle ACB} ，故 \frac{S_1}{S_2}=3\cdot\frac{S_1}{S_{\triangle ACB}}=3\cdot\frac{|\vec{CM}|\cdot|\vec{CN}|\cdot sin\angle ACB}{|\vec{CA}|\cdot|\vec{CB}|\cdot sin\angle ACB}=3\lambda\mu ；
且 \vec {MO}=\vec {CO}-\vec {CM}=(\frac13-\lambda)\vec {CA}+\frac13\vec {CB} ， \vec {NO}=\vec {CO}-\vec {CN}=\frac13\vec {CA}+(\frac13-\mu)\vec {CB} ，
由 M,O,N 三点共线，有 \vec {MO}=k\vec {NO} ，则 \frac13-\lambda=\frac13k,\frac13=(\frac13-\mu)k ，相除消去 k 并化简后得 \frac1\lambda+\frac1\mu=3 ，
故 \frac1{\lambda\mu}=\frac1\lambda(3-\frac1\lambda) ， \frac1\lambda\in(1,2) ，故 \frac1{\lambda\mu}\in(2,\frac94],\lambda\mu\in[\frac49,\frac12) ， \frac{S_1}{S_2}\in[\frac43,\frac32) .
这样，我们就从几何的视角，利用向量工具的强大力量解决了这道题目。
题目思考
自九省联考以来，解析几何命题的一个趋势就是“多想少算”，通过几何关系避开繁杂的代数运算，同时尽量让套路化解题方法不再有“秒杀”的效果。我们需要更多关注几何图形本身，并结合平面向量等工具，才能更快更准确地解决解析几何问题。
最后，祝大家在高考备考的路上有所收获，学习进步，共赴梦想！
