写在前面
2023高考后,新高考1卷的数学题型的变化成为了大家关注的焦点。导数不再放在压轴题,而数列和概率(事实上与数列结合)难度有所提升。随着新高考改革的进行,反套路化成为了命题的趋势,为了更好地应对这一变化,在2024届的高考备考中,各种知识点的难题我们都需要接触,从而达到以不变应万变的效果。
回首历年的高考压轴题,可以发现除近年压轴题几乎是清一色(疯狂趋同演化)的导数外(除2019年为概率统计,2023年为解析几何),世纪初到2010年全国卷以及各省市的压轴题更为百花齐放,数列,解析几何,导数几乎平分天下,而这与新高考改革的方向可谓不谋而合(也可以算是一种回归),同时这些题目又有一定难度,因此对新高考的备考仍有指导意义。
最近做到了2006年的江西理科高考数列压轴题,觉得作为一道数列与利用导数构造放缩结合的压轴题质量不错,因此准备写一篇解析。由于本人水平所限,本文可能会出现一些不足之处,恳请各位大佬指出。
题目
已知数列a_n 满足 a_1=\frac32 ,且 a_n=\frac{3na_{n-1}}{2a_{n-1}+n-1}(n\geq2,n\in N^*) 。
(1)求数列 a_n 的通项公式;
(2)证明:对于一切正整数 n ,不等式 a_1 \cdot a_2 \cdot ... \cdot a_n<2 \cdot n!恒成立.
第一问:取倒数化简再构造等比
观察数列 a_n 递推式的形式,不难发现取倒数后可以化简,因此得\frac1{a_n}=\frac{2}{3n}+\frac{n-1}{3na_{n-1}} ,此时注意到等式两边同乘 n 后结构类似,可以构造常见的类等比数列再化成等比写出通项公式。
顺着这个思路,我们得到 \frac n{a_n}=\frac{2}{3}+\frac13\cdot\frac{n-1}{a_{n-1}} ,此时 \left\{ \frac n{a_n} \right\} 已经为常见的类等比数列,两边同减去1 就可以得到\left\{ \frac n{a_n} -1\right\} 为公比为 \frac13 的等比数列,又由于该数列首项为-\frac13 ,因此\frac n{a_n} -1=-\frac1{3^n} ,通过代数变形可以得到 a_n=\frac{n\cdot3^n}{3^n-1}(n\in N^*)。
至此,我们就做完了第一问。
第二问:取对数后常用放缩再留项证明
首先将通项公式代入,不难发现阶乘可以被消掉,因此即证明 \frac{3}{3-1}\cdot \frac{3^2}{3^2-1}\cdot...\cdot \frac{3^n}{3^n-1}<2
观察代证式为乘积形式形式,考虑常用的取对操作化积为和(而且对数式有几个方便简洁的放缩),即 ln\frac{3}{3-1}+ln \frac{3^2}{3^2-1}+...+ln \frac{3^n}{3^n-1}<ln2 ,而且似乎每一项减去1后都十分简洁,因此用常用对数切线放缩 lnx\leq x-1(一般需要证明,不过按照23年标准不证明似乎也不扣分?还是稳妥点好),只需证明 \frac{3}{3-1}-1+ \frac{3^2}{3^2-1}-1+...+\frac{3^n}{3^n-1}-1=\frac{1}{3-1}+ \frac{1}{3^2-1}+...+\frac{1}{3^n-1}<ln2
然而,这样放缩完后有没有把握能证明出来呢?当n\to+\infty 时,分母常数项-1相比3的n次方几乎可以忽略不计,而 \frac1 {3^n} 前 n项和的极限容易根据等比数列求和公式求出为 \frac12 ,考虑前几项分别为\frac12,\frac18,\frac1{26} ,而 ln2>0.693
以第2项为首项,直接构造新等比数列,有 \frac{1}{3-1}+ \frac{1}{3^2-1}+\frac{1}{3^3-1}+\frac{1}{3^4-1}+...+\frac{1}{3^n-1}<\frac12+\frac{1}{3^2-1}(1+\frac13+\frac1{3^2}+...+\frac1{3^{n-2}})<\frac12+\frac{1}{8}\cdot\frac32=\frac9{16}=0.6875<ln2 证明了结论。
后记
本题计算量较大(符合江西高考的一贯风格),但所用到的方法和思维都是我们再熟悉不过的。对于数列放缩类问题,用等比数列求和(公比为正且小于1)的极限快速判断是否能有效放缩,同时灵活应用导数中的切线放缩,将不熟悉的数列逐步通过恒等变换和放缩划归为我们熟悉的等差,等比数列并进行求和是解决这类问题的有效思路。虽然计算量较大,但只要认准了方向便向前走去,终能见得云开月明。同时,这种思路对于此类问题的解决也是常用方法,我们窥一斑而知全豹,在新高考不断变化的背景下以不变的全面发展应对万变的考试题,尤其要重视数列等之前一段时间难度不大但有潜质作为难题出现的问题,宁可备而不用,不可用时无备,才能有备无患。
最后,祝大家在备考的征途中,能够一帆风顺,跨越万水千山,向梦想奔赴!
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