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梦里的一道题目

さらば限界少女

最近学导数学太多，日有所思夜有所梦，于是在梦中想到了一道题目：
f(x) + 6f'(x) = 3x^3+7x^2+2x
求 f(x).

梦醒之后我开始钻研解法。经过观察，我认为原函数只能是最高次数为3的多项式。我设f(x)为ax^3+bx^2+cx, 此时f'(x)为3ax^2+2bx+c
此时有
f(x) + 6f'(x) = ax^3 + (b+18a) x^2 + (c+12b)x + 6c
此时有
\left\{\begin{aligned} a = 3\\ (b+18a) = 7\\ (c+12b)=2\\ 6c = 0 \end{aligned}\right.

由式1和式2计算得到 b = -47, 代入式3得到 c = 566, 与式4矛盾！

说明f(x)可能并不是多项式，甚至不存在这样的f(x) !
梦中迷迷糊糊的，可能这个题目本身就错了吧。

さらば限界少女

第二次尝试。我们试着将等式两边同时求导。
第一次求导：
f'(x) + 6f''(x) = 9x^2 + 14x + 2

第二次求导：
f''(x) + 6f'''(x) = 18x + 14

第三次求导：
f'''(x) + 6f''''(x) = 18

到此为止了。

设f'''(x) 为 g(x), 则有：
g(x) + 6g'(x) = 18

很明显，一种可能的情况是 g(x) = 18, 此时g'(x) = 0.
对g(x)即f'''(x)进行三次逆求导。第一次逆求导求得f''(x) = 18x+C 或 ln\dfrac{1}{18}+C.

我们略过求得自然对数的情况，将其代入第二次求导的式子，可得 18x+108+C=18x+14, 解得C = -94，即f''(x) = 18x-94.
对其进行逆求导。得到f'(x) = 9x^2 - 94x + D.
代入第一次求导的式子，可得9x^2+14x-564+D = 9x^2+14x+2, 解得D = 566，即f'(x) = 9x^2-94x+566.

对其进行逆求导。得到f(x) = 3x^3 - 47x^2 + 566x +E.
代入原式，可得3x^3+7x^2+2x+3396+E = 3x^3+7x^2+2x, 解得E = -3396，即f(x) = 3x^3-47x^2+566x - 3396.

看上去这就是最后的解了。

三世奇缘

さらば限界少女
f'''(x) + 6f''''(x) = 18
设f'''(x) 为 g(x), 则有：
g(x) + 6 g'(x) = 18

さらば限界少女

这似乎也告诉我们第一次错误出现在什么地方：我错误的认为f(x)是不含常数项的。事实上只要设f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d, 就有
f(x) + 6f'(x) = ax^3 + (b+18a) x^2 + (c+12b)x + 6c+d
此时就很容易算出最后的值。

三世奇缘谢谢除虫

叶珞夜

学而不思则罔，思而不学则殆。
显然这个方程是一个一阶线性微分方程。
特征方程6r+1=0也即r=-\frac{1}{6}，故通解：y=C_1\text{e}^{-1/6x}, C_1\text{为常数}.
再利用微分算子法解特解：
(6D+1)f=3x^3+7x^2+2x \Rightarrow f=\cfrac{3x^3+7x^2+2x}{6D+1}=(1-6D+36D^2-216D^3)(3x^3+7x^2+2x)=3x^3-47x^2+566x-3396.
（因为为3阶多项式，因此只需展开到三次微分算子即可）
故原方程的通解：
f(x)=C_1\text{e}^{-1/6x}+3x^3-47x^2+566x-3396, C_1\text{为常数}

gailium119

\frac{dy}{dx} +\frac{1}{6}y = \frac{1}{2}x^3+\frac{7}{6}x^2+\frac{1}{3}x
y=(\int{(\frac{1}{2}x^3+\frac{7}{6}x^2+\frac{1}{3}x)e^{\int\frac{1}{6}}dx}+C)e^{-\int\frac{1}{6}dx}
=Ce^{-\frac{x}{6}}+e^{-\frac{x}{6}}\int{(\frac{1}{2}x^3+\frac{7}{6}x^2+\frac{1}{3}x)e^{\frac{x}{6}}}dx
=Ce^{-\frac{x}{6}}+6e^{-\frac{x}{6}}(\int{(\frac{1}{2}x^3+\frac{7}{6}x^2+\frac{1}{3}x)}d(e^{\frac{x}{6}}))
=Ce^{-\frac{x}{6}}+6e^{-\frac{x}{6}}(e^{\frac{x}{6}}(\frac{1}{2}x^3+\frac{7}{6}x^2+\frac{1}{3}x)-\int{e^{\frac{x}{6}}}d(\frac{1}{2}x^3+\frac{7}{6}x^2+\frac{1}{3}x)
=Ce^{-\frac{x}{6}}+6(\frac{1}{2}x^3+\frac{7}{6}x^2+\frac{1}{3}x)-6e^{-\frac{x}{6}}\int{e^{\frac{x}{6}}}(\frac{3}{2}x^2+\frac{7}{3}x+\frac{1}{3})dx
=Ce^{-\frac{x}{6}}+3x^3+7x^2+2x-6e^{-\frac{x}{6}}\int{e^{\frac{x}{6}}}(\frac{3}{2}x^2+\frac{7}{3}x+\frac{1}{3})dx
=Ce^{-\frac{x}{6}}+3x^3+7x^2+2x-36e^{-\frac{x}{6}}\int{(\frac{3}{2}x^2+\frac{7}{3}x+\frac{1}{3})}d(e^{\frac{x}{6}})
=Ce^{-\frac{x}{6}}+3x^3+7x^2+2x-36e^{-\frac{x}{6}}(e^{\frac{x}{6}}(\frac{3}{2}x^2+\frac{7}{3}x+\frac{1}{3})-\int{e^{\frac{x}{6}}}d(\frac{3}{2}x^2+\frac{7}{3}x+\frac{1}{3}))
=Ce^{-\frac{x}{6}}+3x^3+7x^2+2x-(54x^2+84x+12)+36e^{-\frac{x}{6}}\int{e^{\frac{x}{6}}(3x+\frac{7}{3})}dx
=Ce^{-\frac{x}{6}}+3x^3-47x^2-82x-12+216e^{-\frac{x}{6}}\int{(3x+\frac{7}{3})}d(e^{\frac{x}{6}})
=Ce^{-\frac{x}{6}}+3x^3-47x^2-82x-12+216e^{-\frac{x}{6}}(e^{\frac{x}{6}}(3x+\frac{7}{3})-\int{e^{\frac{x}{6}}}d(3x+\frac{7}{3}))
=Ce^{-\frac{x}{6}}+3x^3-47x^2-82x-12+216(3x+\frac{7}{3})-216e^{-\frac{x}{6}}\int{e^{\frac{x}{6}}}d(3x+\frac{7}{3})
=Ce^{-\frac{x}{6}}+3x^3-47x^2+566x+492-1296e^{-\frac{x}{6}}\int{3}d(e^{\frac{x}{6}})
=Ce^{-\frac{x}{6}}+3x^3-47x^2+566x+492-3888e^{-\frac{x}{6}}(e^{\frac{x}{6}})
=Ce^{-\frac{x}{6}}+3x^3-47x^2+566x-3396
公式：
已知\frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x),则y=[\int{Q(x)e^{\int{P(x)}dx}}+C]e^{-\int{P(x)}dx}
鉴定为学微分方程学的

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