将一个直角分为n份 (n为正整数), 以r为两边长, 90°÷n为夹角构建等腰三角形. 由正弦定理得到该等腰三角形的面积为:
S_{三角形} = \dfrac{1}{2} r^2 \sin \dfrac{\pi}{2n} (n \in N_+)
将n个等腰三角形三角形组合, 成为一个复合图形. 容易得到n越大, 复合图形的面积越接近四分之一圆的面积. 则圆的面积为:
S_圆 = \lim _ {n \rightarrow +\infty} 2nr^2 \sin \dfrac{\pi}{2n} (n \in N_+)
经过整理, 可以得到:
S_圆 = 2 r^2 \lim _ {n \rightarrow +\infty} \dfrac{\sin \dfrac{\pi}{2n}}{\dfrac{1}{n}}
容易看出当n趋近于正无穷大时, 右式分子和分母都趋近于无穷小. 使用洛必达法则, 有:
S_圆 = 2 r^2 \lim _ {n \rightarrow +\infty} \dfrac{(\sin \dfrac{\pi}{2n})'}{(\dfrac{1}{n})'}
= 2 r^2 \lim _ {n \rightarrow +\infty} \dfrac{\sin ' \dfrac{\pi}{2n} \cdot [\dfrac{\pi}{2}(\dfrac{1}{n})']}{(\dfrac{1}{n})'}
= 2 r^2 \lim _ {n \rightarrow +\infty} \dfrac{\pi}{2} \cos \dfrac{\pi}{2n}
容易看出当n趋近于正无穷大时, cos(pi/2n)趋近于1. 所以原式为:
S_圆 = \pi r^2
