推导过程:
设公鸡x只, 母鸡y只, 小鸡z只, x+y+z = 100 (式1), 5x+3y+(1/3)z = 100 (式2) 容易得到:
- x, y, z均为非负整数,
- x < 100, y < 100, z < 100,
- z能够被3整除.
由式1可知, z = 100-x-y. 将其代入式2, 得到: 5x+3y+(1/3)*(100-x-y) = 100
化简, 得到: 14x+8y = 200, y = 25-1.75x.
因为y为整数, 所以1.75x也为整数. 而1.75*4 = 7. 故设x = 4k (k为非负整数), 代入得到y = 25-7k, z = 75+3k.
因为75为3的倍数, k为整数, 则3k为3的倍数. 故z = 75+3k必然能被3整除.
因为y为非负整数, 所以k < 4. 因为z < 100, 所以k < 9.
综合可得k的取值范围为 {0, 1, 2, 3}. 将k的值分别代入x, y, z; 即为"百元百鸡"问题所有的购买方案.
