已知正数 a , b 满足 a^2-b=2\left( 2\ln b-\ln a \right) ，则下列不等式可能成立的有
A. a>b^2>\frac{1}{2} B. a<b^2<\frac{1}{2} C. a>b>1 D. b<a<1
解析： a^2-b=2\ln \left( \dfrac{b^2}{a} \right) . 注意到 f\left( x \right) =x+\ln x 单调递增.
①若 b^2>a ，则 a^2>b>a^{\dfrac{1}{2}}\Rightarrow a>1,b>1 ，B项不成立.
下证 \exists a,b\in \left( 1,+\infty \right) ,a>b,a^2+2\ln a=b+4\ln b .
设 f\left( b \right) =4\ln b+b-a^2-2\ln a ， f\left( 1 \right) <0 ， f\left( a \right) =2\ln a+a-a^2 ，
取 a=1.5 ， f\left( a \right) =2\ln 1.5-0.75>2\left( 0.5-\left( 0.5 \right) ^2/2 \right) -0.75=0
由零点存在定理可知，C是可能的.
②若 b^2<a ，则 a^2<b<a^{\dfrac{1}{2}}\Rightarrow 0<a<1 .假设 b<a<1 成立.
b^2<b<a<1 ，则 b+4\ln b=a^2+2\ln a>b^2+2\ln b\Leftrightarrow 2\ln b+b-b^2>0
但是 2\ln b+b-b^2<2b-2+b-b^2=-b^2+3b-2=-\left( b-1 \right) \left( b-2 \right) <0
这与我们的假设矛盾，说明D不成立.
从而 a<b<1 ，下面证明： \exists a,b\in \left( 0,1 \right) ,a>b^2>1/2,a^2+2\ln a=4\ln b+b .
也即 \exists b\in \left( 2^{-1/2},\sqrt{a} \right) ，使 4\ln b+b-a^2-2\ln a=0 . 假设 a^2>\frac{\sqrt{2}}{2}
设 f\left( b \right) =4\ln b+b-a^2-2\ln a ， f\left( \frac{\sqrt{2}}{2} \right) =\frac{\sqrt{2}}{2}-2\ln 2-a^2-2\ln a<-\frac{3}{2}\ln 2<0 ，
f\left( \sqrt{a} \right) =\sqrt{a}-a^2>0 ，故 \exists b\in \left( 2^{-1/2},\sqrt{a} \right) ，使 4\ln b+b-a^2-2\ln a=0 ，A可能成立.
综上，本题选AC
注：
- 两处是怎么分别取出一个可用的a的，留作读者思考.
- 小题来说，考虑到这是个多选题，排除了BD后就可以不看了😀
