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极限易错题

叶珞夜

讨论\displaystyle \lim \limits_{n \to \infty}(1+x)(1+x^2)(1+x^4)\cdots(1+x^{2n}) .
讨论：
（1）\displaystyle \lim \limits_{x\to +\infty}\frac{\mathrm{e}^x-x\arctan{x}}{\mathrm{e}^x+x}；
（2）\displaystyle \lim \limits_{x\to 0}\left(\frac{2+\mathrm{e}^{\frac{1}{x}}}{1+\mathrm{e}^{\frac{4}{x}}}+\frac{\sin{x}}{|x|}\right).
设\displaystyle f(x)=\left(\frac{a_1^x+a_2^x+\cdots+a_n^x}{n}\right)^{\frac{1}{x}}，a_n>0. 求：
（1）\lim \limits_{x\to +\infty}f(x)；（2）\lim \limits_{x \to -\infty}f(x)；（3）\lim \limits_{x\to0}f(x)

叶珞夜

1.
\begin{aligned} \displaystyle \lim \limits_{n \to \infty}(1+x)(1+x^2)(1+x^4)\cdots(1+x^{2n}) &=\lim \limits_{n \to \infty}\frac{(1-x)(1+x)(1+x^2)(1+x^4)\cdots(1+x^{2n})}{1-x}\\&=\lim \limits_{n\to\infty}\frac{1-x^{2n+2}}{1-x}. \end{aligned}
当|x|<1时，原式=\dfrac{1}{1-x}；当x=-1时，原式=0；其余情况下极限不存在.

叶珞夜

2.遇到这类有∞的极限问题要特别考虑趋于+∞和-∞的情形！！！
只有两种情形的极限相等时原极限才存在.
（1）考虑：
\lim \limits_{x\to +\infty}\dfrac{\mathrm{e}^x-x\arctan{x}}{\mathrm{e}^x+x}=\lim\limits_{x\to +\infty}\dfrac{1-x\mathrm{e}^{-x}\arctan{x}}{1+x\mathrm{e}^{-x}}=1，其中\lim\limits_{x\to+\infty}x\mathrm{e}^{-x}=\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{1}{\mathrm{e}^x}=0；
\lim \limits_{x\to -\infty}\dfrac{\mathrm{e}^x-x\arctan{x}}{\mathrm{e}^x+x}=\lim\limits_{x\to -\infty}\dfrac{\mathrm{e}^x/x-\arctan{x}}{1+\mathrm{e}^x/x}=\dfrac{\pi}{2}，其中\lim\limits_{x\to-\infty}\mathrm{e}^{x}/x=0.
由\lim \limits_{x\to +\infty}\dfrac{\mathrm{e}^x-x\arctan{x}}{\mathrm{e}^x+x}\neq\lim \limits_{x\to -\infty}\dfrac{\mathrm{e}^x-x\arctan{x}}{\mathrm{e}^x+x}可知，极限不存在.

叶珞夜

（2）
\displaystyle \lim \limits_{x\to 0^{+}}\left(\frac{2+\mathrm{e}^{\frac{1}{x}}}{1+\mathrm{e}^{\frac{4}{x}}}+\frac{\sin{x}}{|x|}\right) = \lim \limits_{x\to 0^{+}}\frac{2\mathrm{e}^{-\frac{4}{x}}+\mathrm{e}^{-\frac{3}{x}}}{1+\mathrm{e}^{-\frac{4}{x}}}+\lim\limits_{x\to0^+}\frac{\sin{x}}{x}=1；
\displaystyle \lim \limits_{x\to 0^{-}}\left(\frac{2+\mathrm{e}^{\frac{1}{x}}}{1+\mathrm{e}^{\frac{4}{x}}}+\frac{\sin{x}}{|x|}\right) = \lim \limits_{x\to 0^{-}}\frac{2+\mathrm{e}^{\frac{1}{x}}}{1+\mathrm{e}^{\frac{4}{x}}}-\lim\limits_{x\to0^-}\frac{\sin{x}}{x}=2-1=1.
由\displaystyle \lim \limits_{x\to 0^{+}}\left(\frac{2+\mathrm{e}^{\frac{1}{x}}}{1+\mathrm{e}^{\frac{4}{x}}}+\frac{\sin{x}}{|x|}\right) =\lim \limits_{x\to 0^{-}}\left(\frac{2+\mathrm{e}^{\frac{1}{x}}}{1+\mathrm{e}^{\frac{4}{x}}}+\frac{\sin{x}}{|x|}\right)知，原式=1.

叶珞夜

求函数\displaystyle f(x)=\frac{x^2-x}{x^2-1}\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}的间断点.
解：函数f(x)在x=0,x=\pm1处无定义，从而x=0,x=\pm1是f(x)的间断点.
f(x)=\mathrm{sgn}(x)\dfrac{\sqrt{x^2+1}}{x+1}.
又\lim\limits_{x\to1}f(x)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}，\lim\limits_{x\to0^-}f(x)=-1\neq\lim\limits_{x\to0^+}f(x)=1，\lim\limits_{x\to{-1}}f(x)=\infty.
故x=0是f(x)的跳跃间断点，x=1是f(x)的可去间断点，x=-1是f(x)的无穷间断点.

叶珞夜

叶珞夜评注：遇到根号优先考虑分分符号讨论！

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