首先看到四点共圆，我们可以有两种转化思路：
①：用圆幂定理转化为线段长问题.
O, A, M, N四点共圆等价于|OP|\cdot|PA|=|PM|\cdot|PN|.
注意到这四条线段都在坐标轴上，故等价于t(t-2)=|y_My_N|
②：利用角度关系转化为斜率问题.
O, A, M, N四点共圆得\angle{AON}=\angle{BAM}，也即\tan\angle{AON}=\tan\angle{BAM}.
故k_{ON}\cdot k_{AM}=1，即\dfrac{y_N}{t}\cdot \dfrac{y_M}{t-2}=1
两种思路共同指向了M和N的纵坐标，设BA:y=k_1(x-2)，CA:y=k_2(x-2).
可以求得M\left(t,k_1(t-2)\right)， N\left(t,k_2(t-2)\right)
则此时问题转化为了求解k_1k_2，结合已知条件，考虑齐次化联立，解答过程如下：
设BA:y=k_1(x-2)，CA:y=k_2(x-2)，由已知M\left(t,k_1(t-2)\right)， N\left(t,k_2(t-2)\right).
O, A, M, N四点共圆知|OP|\cdot|PA|=|PM|\cdot|PN|，也即t(t-2)=|y_My_N|.
故t=(t-2)|k_1k_2|
设BC的方程为m(x-2)+ny=1，由已知m(t-2)=1
此时椭圆的方程可写为3\left(x-2\right)^2+12(x-2)+4y^2=0，与BC联立可知：
3\left(x-2\right)^2+12(x-2)\left[m(x-2)+ny\right]+4y^2=0
即
4\left(\dfrac{y}{x-2}\right)^2+12n\left(\dfrac{y}{x-2}\right)+(12m+3)=0
由已知k_1, k_2是这个方程的两解，故k_1k_2=\dfrac{12m+3}{4}，联立解得t=6.
