2. 齐次化联立的本质:
在处理某些与斜率相关的问题时，我们经常需要构造与斜率相关的同解方程，我们可以直接用正常联立配合韦达定理导出相关的同解方程，而对于较为复杂的问题，正常联立会显得很麻烦，这个时候我们就可以配合齐次化联立构造同解方程.
3. 相关例题：
例1：（2010·山东·文）
如图， 已知椭圆 \dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)过点\left(1,\dfrac{\sqrt2}{2}\right)，离心率为\dfrac{\sqrt2}{2}，左右焦点分别为F_1、F_2. 点P为直线l:x+y=2上且不在x轴上的任意一点，直线PF_1和PF_2与椭圆的交点分别为A、B和C、D，O为坐标原点.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设直线PF_1和PF_2的斜率分别为k_1和k_2.
①证明：\dfrac{1}{k_1}-\dfrac{3}{k_2}=2
②直线 l 上是否存在点 P, 使得直线 OA、OB、OC、OD 的斜率k_{OA}、k_{OB}、k_{OC}、k_{OD} 满足 k_{OA} + k_{OB} + k_{OC} + k_{OD} = 0? 若存在, 求出所有满足条件的点 P 的坐标; 若不存在, 说明理由.
（1）\dfrac{x^2}{2}+y^2=1
（2）①略
②为了方便，我们设t=k_1^{-1}，n=k_2^{-1}，则有t=3n+2.
显然PF_1:x=ty-1和PF_2:x=ny+1均不过点O.
设A(x_1,y_1),B(x_2,y_2),C(x_3,y_3),D(x_4,y_4).
我们观察下直线方程，出现了“1”，这提示我们可以构造齐次式：
x=ty-1和\dfrac{x^2}{2}+y^2=1联立可得：
\dfrac{x^2}{2}+y^2=\left(ty-x\right)^2
故\left(2t^2-2\right)y^2-4txy+x^2=0
即\left(2t^2-2\right)\left(\dfrac{y}{x}\right)^2-4t\left(\dfrac{y}{x}\right)+1=0
由已知k_{OA}=\dfrac{y_1}{x_1}、k_{OB}=\dfrac{y_2}{x_2}为此方程的两根，故
k_{OA}+k_{OB}=\dfrac{2t}{t^2-1}(t\neq\ \pm 1)
同理，我们有
k_{OC}+k_{OD}=\dfrac{2n}{n^2-1}(n\neq\ \pm 1)
由k_{OA} + k_{OB} + k_{OC} + k_{OD} = 0，得
\dfrac{2(n+t)(nt-1)}{\left(t^2-1\right)\left(n^2-1\right)}=0
故n+t=0或者nt=1(t\neq\ \pm 1且n\neq\ \pm 1)
此两组对应的P(0,2)或P\left(\dfrac{5}{4},\dfrac{3}{4}\right)
