1. 三角形的四心： ①重心：三条中线的交点 ②内心：三条角平分线的交点，三角形内切圆的圆心 ③外心：三条边垂直平分线的交点，三角形外接圆的圆心 ④垂心：三条高线的交点 2. 基本命题：[imath]\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = \overrightarrow 0[/imath]等价于G是ΔABC的重心证明：设AC的中点为M，则有[imath]\overrightarrow {BM} = \dfrac{1}{2}\left( {\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BC} } \right)[/imath] 由三角形相似易得[imath]BG=\dfrac{2}{3}BC[/imath]，故[imath]\overrightarrow {GB} = \dfrac{1}{3}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CB} } \right)[/imath] 同理[imath]\overrightarrow {GA} = \dfrac{1}{3}\left( {\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {CA} } \right)[/imath],[imath]\overrightarrow {GC} = \dfrac{1}{3}\left( {\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {AC} } \right)[/imath] 相加，得： [math]\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = \overrightarrow {0}[/math] 另一方面，由[imath]\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = \overrightarrow 0[/imath]，不妨设AG交BC与N点，则[imath]\overrightarrow {GA}=\lambda\overrightarrow {GN}[/imath]，变形可知：[math]\lambda\overrightarrow {GN}=-\left(\overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC}\right)[/math] 设M点是BC中点，则有：[math]\overrightarrow {GM}=\dfrac{1}{2}\left(\overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC}\right)[/math]可知G，N，M三点共线，故AG为BC的中线，同理可证明BG为AC的中线，故G为重心.

3. 奔驰定理：对于ΔABC内一点G，设[imath]S_A=S_{\Delta GBC}[/imath]，[imath]S_B=S_{\Delta GAC}[/imath]，[imath]S_C=S_{\Delta GBA}[/imath]，则有：[math]S_A\overrightarrow {GA} + S_B\overrightarrow {GB} + S_C\overrightarrow {GC} = \overrightarrow {0}[/math] 证法1：设AG交BC于点M，则[math]\overrightarrow{AG}=\dfrac{AG}{AM}\overrightarrow{AM}=\dfrac{S_C+S_B}{S_{\Delta ABC}}\overrightarrow{AM}[/math] 注意到[math]\overrightarrow{AM}=\dfrac{BM}{BC}\overrightarrow{AC}+\dfrac{CM}{BC}\overrightarrow{AB}=\dfrac{S_B}{S_B+S_C}\overrightarrow{AC}+\dfrac{S_C}{S_B+S_C}\overrightarrow{AB}[/math] 故[math]\overrightarrow{AG}=\dfrac{S_B}{S_{\Delta ABC}}\overrightarrow{AC}+\dfrac{S_C}{S_{\Delta ABC}}\overrightarrow{AB}[/math] 同理[math]\overrightarrow{BG}=\dfrac{S_A}{S_{\Delta ABC}}\overrightarrow{BC}+\dfrac{S_C}{S_{\Delta ABC}}\overrightarrow{BA}[/math][math]\overrightarrow{CG}=\dfrac{S_B}{S_{\Delta ABC}}\overrightarrow{CA}+\dfrac{S_A}{S_{\Delta ABC}}\overrightarrow{CB}[/math] 相加得[math]S_A\overrightarrow {GA} + S_B\overrightarrow {GB} + S_C\overrightarrow {GC} = \overrightarrow {0}[/math] 证毕

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@"何沐瑾"#p38139 我这边是正常的

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向量与三角形的四心问题

叶珞夜

三角形的四心：
①重心：三条中线的交点
②内心：三条角平分线的交点，三角形内切圆的圆心
③外心：三条边垂直平分线的交点，三角形外接圆的圆心
④垂心：三条高线的交点
基本命题：\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = \overrightarrow 0等价于G是ΔABC的重心
证明：设AC的中点为M，则有\overrightarrow {BM} = \dfrac{1}{2}\left( {\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BC} } \right)
由三角形相似易得BG=\dfrac{2}{3}BC，故\overrightarrow {GB} = \dfrac{1}{3}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CB} } \right)
同理\overrightarrow {GA} = \dfrac{1}{3}\left( {\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {CA} } \right),\overrightarrow {GC} = \dfrac{1}{3}\left( {\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {AC} } \right)
相加，得：
\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = \overrightarrow {0}
另一方面，由\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = \overrightarrow 0，不妨设AG交BC与N点，则\overrightarrow {GA}=\lambda\overrightarrow {GN}，变形可知：\lambda\overrightarrow {GN}=-\left(\overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC}\right)
设M点是BC中点，则有：\overrightarrow {GM}=\dfrac{1}{2}\left(\overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC}\right)可知G，N，M三点共线，故AG为BC的中线，同理可证明BG为AC的中线，故G为重心.

叶珞夜

奔驰定理：对于ΔABC内一点G，设S_A=S_{\Delta GBC}，S_B=S_{\Delta GAC}，S_C=S_{\Delta GBA}，则有：S_A\overrightarrow {GA} + S_B\overrightarrow {GB} + S_C\overrightarrow {GC} = \overrightarrow {0}
证法1：设AG交BC于点M，则\overrightarrow{AG}=\dfrac{AG}{AM}\overrightarrow{AM}=\dfrac{S_C+S_B}{S_{\Delta ABC}}\overrightarrow{AM}
注意到\overrightarrow{AM}=\dfrac{BM}{BC}\overrightarrow{AC}+\dfrac{CM}{BC}\overrightarrow{AB}=\dfrac{S_B}{S_B+S_C}\overrightarrow{AC}+\dfrac{S_C}{S_B+S_C}\overrightarrow{AB}
故\overrightarrow{AG}=\dfrac{S_B}{S_{\Delta ABC}}\overrightarrow{AC}+\dfrac{S_C}{S_{\Delta ABC}}\overrightarrow{AB}
同理\overrightarrow{BG}=\dfrac{S_A}{S_{\Delta ABC}}\overrightarrow{BC}+\dfrac{S_C}{S_{\Delta ABC}}\overrightarrow{BA}\overrightarrow{CG}=\dfrac{S_B}{S_{\Delta ABC}}\overrightarrow{CA}+\dfrac{S_A}{S_{\Delta ABC}}\overrightarrow{CB}
相加得S_A\overrightarrow {GA} + S_B\overrightarrow {GB} + S_C\overrightarrow {GC} = \overrightarrow {0}
证毕

叶珞夜

由奔驰定理和构造我们不难导出这么几个推论：
①G是ΔABC的内心等价于a\overrightarrow {GA} +b\overrightarrow {GB} +c\overrightarrow {GC} =\overrightarrow {0}
②G是ΔABC的垂心等价于\tan{A} \cdot \overrightarrow {GA} +\tan{B}\cdot\overrightarrow {GB} +\tan{C}\cdot\overrightarrow {GC} =\overrightarrow {0}
③G是ΔABC的外心等价于\sin{2A} \cdot \overrightarrow {GA} +\sin{2B}\cdot\overrightarrow {GB} +\sin{2C}\cdot\overrightarrow {GC} =\overrightarrow {0}
证明留作读者习题.

QJS Studio 王琳芳

你wvb开始上数学课了（

何沐瑾

样式没了，草

叶珞夜

何沐瑾我这边是正常的

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